1、河南省正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题 文一、单选题（每小题5分，共60分）1已知集合，则（ ）ABCD2复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设命题：，则为（ ）ABCD4.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）ABC D5若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）A5B7C9D116以抛物线的焦点为圆心且过点的圆的标准方程为（ ）ABCD7设等差数列的前项之和为，已知，则（ ）ABCD8将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线，则（ ）ABCD9在矩形中，以，
2、为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD100.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（ ）ABCD11.设函数，则下列结论错误的是（ ）A的最小正周期为B的图像关于直线对称C的一个零点为D在单调递减12已知函
3、数，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13设a0，b0，若3是3a与32b的等比中项，则的最小值为 14函数在处的切线方程是 15已知向量，且，则 16四棱锥的底面是矩形，侧面平面，则该四棱锥外接球的体积为_三、解答题（共70分）17（12分）已知数列是递增的等差数列，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.18（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，（1）求角B的大小；（2）求的面积19（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且平面（1）证明：平面PBD；（2）若Q为PC的中
4、点，求三棱锥的体积20（12分）已知椭圆C：的焦距为4，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围21（12分）已知函数，（1）若，求的极值；（2）若对于任意的，都有，求的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为，若曲线与相交于A，B两点，求的值.23（10分）已知.（1）画出函数的图象；（2）求不等式的解集.答案
5、一、单选题1【答案】A因为集合，所以.故选：A.2【答案】D【详解】所以复数在复平面内对应的点，在第四象限.故选：D3【答案】D【详解】根据全称命题的否定是特称命题得到命题p的否定p：，故选D4.【答案】C【详解】利用向量的三角形法则，可得，为的中点，为的中点，则，又 .故选C.5【答案】C【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在轴上的解距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点A时在上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故选：C.6【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的性
6、质和圆的标准方程即可求出【详解】抛物线的焦点F（1，0），即圆心坐标为（1，0），又圆过点，且P在抛物线上，r=，故所求圆的标准方程为.故选A.7【答案】B【详解】解：，.故选：B.8【答案】D【分析】由图象变换可得，代入自变量求值即可.【详解】由题意，得：，则故选：D9【答案】C【分析】利用双曲线的定义及性质，直接列出关系式求解双曲线的离心率即可【详解】由题可知，所以，即，所以此双曲线的离心率为.故选C.10【答案】B【分析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由诱导公式求解【详解】在中，由正弦定理可得， .故选：B.11.【答案】D【分析】化简可得，根据余弦函数的性质依次判断各个选项.
7、【详解】由，得，故A正确，不符合题意；由得，令得：，故B正确，不符合题意；因为，当时，故C正确，不符合题意；因为，即，令得，故D错误，符合题意.故选：D12【答案】A【解析】【分析】根据题意先确定g（x）f（x）4x在（0，+）上单增，再利用导数转化，可得恒成立，令求得max，即可求出实数a的取值范围【详解】令，因为，所以，即在上单调递增，故在上恒成立，即，令.则，max，即的取值范围为.故选A.13【答案】4【详解】因为a0，b0，且3是3a与32b的等比中项，所以解得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4故选：A14【答案】【详解】对函数求导得，当时，所以函数在处的切线方程是即.
8、15【答案】16.四棱锥的底面是矩形，侧面平面，则该四棱锥外接球的体积为（ ）【答案】【详解】取的中点E，连接中，设的中心为，球心为O，则，设O到平面的距离为d，则，四棱锥的外接球的体积为.17【答案】（1）； （2）.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，若成等比数列，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.18【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得解；（2）由余弦定理可得，进而可得，再由三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由正弦定理，得由，得由，得所以又，所以又，得（2）由余弦定理及，得即将代入，解得所以19【答案】
9、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由余弦定理可得，证得，则由底面，平面，证得，得证（2）为的中点，利用等积法 ，即可求出结果.【详解】(1) 在中，由余弦定理得，.又底面，平面 . ，平面. （2）因为为的中点,所以三棱锥的体积,与三棱锥的体积相等，即.所以三棱锥的体积.20【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆C的焦距可得值，根据椭圆的定义可求出的值，再由求出的值，即可求解；（2）若直线l垂直于x轴，可直接得到，若直线l不垂直于x轴，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和不等式关系，即可求解【详解】（1）椭圆C：的焦距是4，所以焦点坐标是，因为椭圆过点，所以，所以，又，所以，即椭圆C的
10、方程是；（2）若直线l垂直于x轴，则点，；若直线l不垂直于x轴，设l的方程为，点，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：，则，所以，因为，所以，综上所述，的取值范围是21【答案】（）有极小值，没有极大值；（）.【解析】试题分析：（）将代入函数的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）对于任意的，有，所以有恒成立，即，构造函数，利用导数求最大值，只需即可.试题解析：（）的定义域为，时，是增函数，是减函数有极小值，没有极大值5分（），当时，在上是单调递增函数，最大，7分对于任意的，恒成立，即对任意，恒成立，9分令，则当时，当时，在上是增函数，在上是减函数，当时，最大值为，
11、11分即12分22【答案】（1），；（2）【分析】（1）把参数方程消去参数得，极坐标方程，两边同乘以，化简得：；（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义知：，再把韦达定理代入，即可求得结果.【详解】（1）由消去参数得曲线的普通方程为，由的极坐标方程为，两边同乘以，得，将代入，得曲线的直角坐标方程为；（2）将曲线的参数方程代入，整理得，【点睛】方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：， 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t的一元二次方程；（2）利用韦达定理写出，；（3）利用弦长公式代入计算.23【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）函数的图象如图所示；（2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，的图象与的图象的交点坐标为，从图象可求得不等式的解；【详解】解：（1）函数的图象如图所示；（2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，的图象与的图象的交点坐标为，由图象可知当且仅当时，的图象在的图象下方，不等式的解集为【点睛】利用数形结合思想求解绝对值不等式，能使求解过程变得更直观，同时注意绝对值几何意义的应用.
