1、离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1(2021四川泸州高三二模)离散型随机变量X服从二项分布XB(n，p)，且E(X)4，D(X)3，则p的值为()A B C DC因为二项分布XB(n，p)，所以解得p2(2021内蒙古包头高三二模)设XN(1,1)，且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()注：若XN(，2)，则P(X)0.682 7A75 385 B60 375 C70 275 D65 865D因为XN(1,1)，P(X)0.682 7，向正方形ABCD中随机投掷一个点，这个点落在阴影部分的概率为P1P(0x
2、2)10.341 350.658 65，所以取自阴影部分的点的个数约为100 0000.658 6565 8653(2021浙江杭州高三三模)已知随机变量，满足B(2，p)，21，且P(1)，则D()的值为()A0 B1 C2 D3C因为随机变量满足B(2，p), P(1)，所以有P(1)1p2，即p则D()2，12，D()4D()24已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E()()A3 B C D4B的可能取值为2,3,4，P(2)，P(3)，P(4)，则E()234，故选B5(2020全国卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p
3、2，p3，p4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2B对于A，当p1p40.1，p2p30.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)10.120.430.440.12.5，D(X1)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.11.520.10.520.40.520.41.520.10.65，所以对于B，当p1p40.4，p2p30.1时，随机变量X2的分布列为X21234P
4、0.40.10.10.4E(X2)10.420.130.140.42.5，D(X2)(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.520.40.520.10.520.11.520.41.85，所以对于C，当p1p40.2，p2p30.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X3)10.220.330.340.22.5，D(X3)(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.520.20.520.30.520.31.520.21.05，所以对于D，当p1p40.3，p2p30.2时，随机变量
5、X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)10.320.230.240.32.5，D(X4)(12.5)20.3(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.520.30.520.20.520.21.520.31.45，所以所以B中的标准差最大二、填空题6(2021四川师范大学附属中学高三期中)已知离散型随机变量B，随机变量41，则的数学期望E() 4离散型随机变量B，E()3，E()E(41)4E()14147(2021辽宁大连高三二模)一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为X，则X的方差D(X) 根据题意，摸得白
6、球的个数X可能取的值为0,1,2计算P(X0)，P(X1)，P(X2)所以随机变量X的数学期望为：E(X)0121，所以随机变量X的方差为：D(X)(01)2(11)2(21)282020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是 由题意可知每名学生的英语成绩N(95,82)，P(95)，故所求概率PC三、解答题9大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更
7、好的种植，就要进行超级种培育研究某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为，收成为(kg)，求随机变量分布列及的数学期望E()解(1)设每株豆子成活的概率为P0，则P01所以4株中恰好有3株成活的概率PC(2)记成活的豆苗株数为，收成为2.205，则的可能取值为0,1,2,3,4，且B，所以的分布列如下表：0123
8、4PCC1CCCE()43.5，E()E(2.205)2.205E()7.717 5(kg)10(2021合肥一六八中学高三模拟)2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105 kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66 kg称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差s2；(2)根据以往经验，可以认为该
9、鱼塘鱼质量X服从正态分布N(，2)，用作为的估计值，用s2作为2的估计值随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在1.21,3.21的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了1 000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在1,21,3.21的条数，利用(2)的结果，求的数学期望附：(1)数据t1，t2，tn的方差s2(ti)2(n2)(2)若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3解(1)1.71，s21.7120.25(2)该鱼塘鱼质量满足XN(，2)，其中1.71，20.25，即XN(1.71,0.25)，则P(X)
10、，P(X3)，P(1.21X3.21)P(X3)P(X)P(X3)0.84(3)由(2)可得鱼的质量在1,21,3.21的概率为0.84由题意可知B(1 000,0.84)，由二项分布的数学期望公式可得，的数学期望为E()1 0000.848401已知随机变量的分布列如下：012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个零点的概率为()A B C DB由题意知a，b，c0,1，且解得b，又函数f(x)x22x有且只有一个零点，故对于方程x22x0，440，解得1，所以P(1)2体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直
11、发到3次为止设某学生每次发球成功的概率为p(0p1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A BC DC由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得p或p由p(0,1)，可得p3在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为，则数学期望E() ，方差D()的最大值为 p记事件A发生的次数可能的值为0,101P1pp数学期望E()0(1p)1pp，方差D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)故数学期望E()p，方差D()的最大值为4某城市A
12、公司外卖配送员底薪是每月1 800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X1,300，配送员每单提成3元；若X(300,600，配送员每单提成4元；若X(600，)，配送员每单提成4.5元B公司外卖配送员底薪是每月2 100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y1,400，配送员每单提成3元；若Y(400，)，配送员每单提成4元小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐
13、量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当XY且X，Y(300,600时，比较f(X)与g(Y)的大小(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率()分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；()请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由解(1)因为XY且X，Y(300,600，所以g(X)g(Y)，当X(300,400时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1003X)X3000当X(400,600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 10
14、04X)3000故当X(300,400时，f(X)g(X)，当X(400,600时，f(X)g(X)(2)()甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820P则E(x)13141617182016乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P则E(y)11131415161814()E(X)30E(x)480(300,600，E(Y)30E(y)420(400，)估计A公司外卖配送员月薪平均为1 8004E(X)3 720(元)估计B公司外卖配送员月薪平均为2 1004E(Y)3 780(元)因为3 7803 720，所以小王应选择做B公司外卖配送员武汉有“九省通衢”之称，也称为
15、“江城”，是国家历史文化名城其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1 000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在47,52内的人数为，求P(3)(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1将每年劳动节当日客流量
16、分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1X33X5X5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1X33X5X5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大
17、游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？解(1)年龄在42,47)内的游客人数为150，年龄在47,52内的游客人数为100若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在42,47)内的游客人数为6，年龄在47,52内的游客人数为4所以P(3)(2)当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)3(万元)当投入2艘A型游船时，若1X3，则Y30.52.5，此时P(Y2.5)P(1X3)；若X3，则Y326，此时P(Y6)P(3X5)P(X5)此时Y的分布列如表：Y2.56P此时E(Y)2.565.3(万元)当投入3艘A型游船时，若1X3，则Y312，此时P(Y2)P(1X3)；若3X5，则Y320.55.5，此时P(Y5.5)P(3X5)；若X5，则Y339，此时P(Y9)P(X5)此时Y的分布列如表：Y25.59P此时E(Y)25.596.2(万元)由于6.25.33，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大