1、正弦定理、余弦定理的综合应用一、选择题1若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10B如图所示，由ACBC得CABCBA45利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15，故选B2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30，60，则塔高为()A mB mC mD mA如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120，又AB200 m，AC m在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)3(2021娄底市春元中学高三月考)九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立甲行率七，
2、乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？()A20,8 B24,10C10.5,24.5 D24.5,10.5D由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC3ta，AB10a，BC(7t10)a，在RtABC中，AC2AB2BC2，即(3ta)2(10a)2(7t10)a2，解得：t，
3、故甲走了7t24.5步，乙走了3t10.5步4(2021山西太原高三二模)在ABC中，AB8，AC6，A，E，F分别在边AB，AC上若线段EF平分ABC的面积，则EF的最小值为()A21 B4824C D62D依题意，SAEFSABC，由三角形面积定理得AEAFsin AABACsin A，AEAF8624，在AEF中，由余弦定理得EF2AE2AF22AEAFcos A，EF2(1)62，当且仅当AEAF2时取“”5(2021陕西西安中学高三模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直
4、弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A210()米 B140米C210米 D20()米B设ACx，则BCx40，在ABC中，由余弦定理得：BC2AC2AB22ACABcos BAC，即(x40)2x21002100x，解得x420在ACH中，AC420，CAH153045，CHA903060，由正弦定理得：，即，解得CH1406已知ABC中，BC边上的中线AD3，BC4，BAC60，则ABC的周长为()A4 B44 C54
5、D24A根据余弦定理：AB2AD2BD22ADBDcosADB1312cosADB，AC2AD2CD22ADCDcosADC1312cosADC，AB2AC226，又BC2AB2AC22ABACcosBAC26ABAC16，ABAC10，(ABAC)2AB2AC22ABAC262046，所以ABC的周长为ABACBC4，故选A二、填空题7一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 海里10如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在
6、RtABC中，AC10，CAB60，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A若a4，则ABC周长的最大值为 12由正弦定理，可将asin Bbcos A转化为sin Asin Bsin Bcos A又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A0A，A由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bcb2c2bc(bc)23bc，又bc，(bc)264，即bc8，abc129如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为 设AB
7、a，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC在BDC中，sin C三、解答题10(2021山东聊城市高三三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10sin27cos 2B(1)求角B的大小；(2)已知点D满足，且ABBD，若SABD，AD，求AC解(1)A，B，C是ABC的内角，则sincos，又10sin27cos 2B，10cos27cos 2B，即55cos B7(2cos2B1)，整理得2cos2B5cos B30，cos B或cos B3(舍去)，又0BBD，BD1，BA3，BC4，由余弦定理有AC2BA
8、2BC22BCBAcos B13，AC11(2021天水市第一中学高三月考)在四边形ABCD中，AC，E是AD上的点且满足BED与ABD相似，AEB，DBE，DE6(1)求BD的长度；(2)求BCD面积的最大值解(1)BEDAEB，在BDE中，即，所以，BD6(2)因为BEDABD，所以CADBE，在BDC中，BD2DC2BC22DCBCcos，所以72DC2BC2DCBC，所以722DCBCDCBC，所以DCBC72(2)，所以SBCDDCBCsin72(2)18(2)，所以BCD面积的最大值为36181在ABC中，角A的平分线交BC边于点D，AB4，AC6，AD3，则BC()A B C3
9、D8A由角平分线性质可得，故可设BD2x，CD3x，ABD中，由余弦定理可得，cosADB，ACD中，由余弦定理可得，cosADC，ADBADC，cosADBcosADC，解可得x，BC5x，故选A2圭表(如图)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为
10、73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为()图图A BC DD由题可知：BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知：，即，则AD，又在ACD中，sinADCsin 73.5，所以AC，故选D3已知函数f(x)4cos xsin(1)求函数f(x)在区间上的值域；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，f(C)，且c2，求ABC面积的最大值解(1)f(x)4cos xsin4cos x4cos x2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin， 由x，有2x，所以sin1，函数f(x)的值域为
11、1,2 (2)由f(C)，有sin，C为锐角，2C，Cc2，由余弦定理得：a2b2ab4，a2b22ab，4a2b2ababSABCabsin Cab，当ab，即ABC为正三角形时，ABC的面积有最大值1海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135
12、，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80故图中海洋蓝洞的口径为802在RtABC中，ACB90，点D，E分别在边AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面积为3(1)求边DE的长；(2)若AD3，求sin A的值解(1)如图，在ECD中，SECDCECDsinDCE35sinDCE3，所以sinDCE因为0DCE90，所以cosDCE所以DE2CE2CD22CDCEcosDCE92523528，所以DE2(2)因为ACB90，所以sinACDsin(90DCE)cosDCE，在ADC中，由正弦定理得，即，所以sin A