1、1.极值的概念 已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0,对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如果都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小值=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.名师点拨(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其附近都有意义.(2)极值是一个局部概念,是相对某一点附近而言.(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点,因而端点绝对不是函数的极值点.(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个
2、极小值不一定小于极大值.【做一做1】在下图中x1是函数的极 值点,x2是函数的极 值点.(填“大”或“小”)答案:大 小 2.求可导函数y=f(x)极值的步骤(1)求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的所有实数根.(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f(x)的符号如何变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值;如果在f(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.名师点拨极值点与导数为0的点的关系:导数为0的点不一定是极值点.如函数f(x)=x3在x=0处的导数是0,但它不是极值点.对于可导函
3、数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件.函数的导数不存在的点也可能是极值点.如函数f(x)=|x|,在x=0处,左侧(x0时),f(x)=-10时),f(x)=10,当x=0时,f(x)=0,x=0是f(x)的极小值点,但f(0)不存在.【做一做2】方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的极值点吗?答案:不一定3.求可导函数y=f(x)在a,b的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a,b)内的所有极值点.(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.名师点拨(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数的最值表示
4、函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性.(3)如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.【做一做3】函数的最大值一定是函数的极大值吗?答案:不一定.1.如何理解极值的概念?剖析:极大值与极小值统称为极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函
5、数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处.2.导数为零的点一定是极值点吗?剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数
6、f(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.题型一 题型二 题型三 求函数的极值【例1】求下列函数的极值:(1)y=f(x)=3x3-x+1;(2)f(x)=x2ex.分析:首先对函数求导,求得f(x),然后求方程f(x)=0的根,再检验方程根的左右两侧导数f(x)的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.题型一 题型二 题型三 解 y=9x2-1,令 y=0,解得 x1=13,x2=-13.当 x 变化时,y和 y 的变化情况如下表:x -,-13 -13 -13,13
7、13 13,+y+0-0+y 极大值119 极小值79 因此,当 x=-13时,y 有极大值,并且 y 极大值=119.而当 x=13时,y 有极小值,并且 y 极小值=79.题型一 题型二 题型三(2)函数的定义域为 R.f(x)=2xex+x2ex=exx(2+x),令 f(x)=0,得 x=0 或 x=-2.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值42 极小值 0 由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且 f(0)=0.当 x=-2 时,函数有极大值,且 f(-2)=4e2.题型一 题型二 题型
8、三 反思按照求函数极值的一般步骤求解即可.解答此类问题时要注意f(x)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号,才能判断函数在x0处取得极值.解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.题型一 题型二 题型三 求函数的最值【例 2】(1)求函数 f(x)=x3-2x2+1 在区间-1,2上的最值.(2)设函数 f(x)=ln x+1+ax(a0).若 f(x)在(1,2内的最大值为52,求a 的值.分析(1)按照求最值的一般步骤求解即可.(2)按照求最值的方法求其最大值,其最大值是关于 a 的表达式.由题意知,最大值等于52,解方程即可求得 a.题
9、型一 题型二 题型三 解(1)f(x)=3x2-4x,令 f(x)=0,有 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x=43.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0 0,43 43 43,2 2 f(x)+0-0+f(x)-2 1 -527 1 故 f(x)=x3-2x2+1 在区间-1,2上,f(x)最大值=1,f(x)最小值=-2.(2)f(x)=1 12+a=-12+a.当 x(1,2时,f(x)0,f(x)在(1,2上单调递增.故 f(x)在(1,2上的最大值为 f(2)=ln 2+12+2a.由题意知 ln 2+12+2a=52,a=2-ln22.题型一
10、 题型二 题型三 反思(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题.(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间a,b上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得.题型一 题型二 题型三 易错题型【例3】已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.错解f(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,解得 =3,=-3 或 =-4,=11.错因分析在x=1处有极值10,则x=1是f(x)=0的根.但f(x)=0的根并不一定是极值点,故
11、对求得的参数的值要进行验证是否满足在x=1处有极值.题型一 题型二 题型三 正解f(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,解得 =3,=-3 或 =-4,=11.当a=3,b=-3时,f(x)=3(x-1)20,所以f(x)单调递增,不存在极值,故应舍去.当a=-4,b=11时,满足题意.所以a=-4,b=11.1 函数 y=x2-x+1 的极小值是()A.1B.34C.74D.2答案:B2函数y=x3-3的极大值是()A.0B.1C.2D.不存在 答案:D3 函数 y=x+1(x0)在 x=1 处取得()A.极小值B.极大值C.既有极大值又有极小值D.最
12、大值解析:当 0 x1 时,y=1-121 时,y=1-120.故函数 y=x+1(x0)在 x=1 处取极小值.答案:A4 若 a0,函数 y=x+在(0,+)的最小值为 4,则 a=.解析:y=1-2.当 x 时,y=1-20;当 0 x 时,y=1-20.故函数 y=x+在 x=处取得极小值也是最小值 2.由题意知2=4,解得 a=4.答案:45已知函数f(x)=x3-2ax2+a2x在x=1处有极大值,求a的值.分析函数f(x)=x3-2ax2+a2x在x=1处有极大值,则x=1是f(x)=3x2-4ax+a2=0的根,将x=1代入上式,求出a的值,要验证函数f(x)是否在x=1处取得极大值.解f(x)=3x2-4ax+a2.由题意得3-4a+a2=0,解得a=1或a=3.验证知当a=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值,不满足题意,故舍去a=1;当a=3时,满足题意.所以a=3.
