1、第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1.了解函数yAsin(x)的物理意义，能画出yAsin(x)的图象，了解参数A、对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)，(A0，0，xR)表示一个振动量时，A叫做，T2 叫做周期，f1T叫做频率，x 叫做相位，叫做初相振幅2图象变换(1)相位变换：ysinxysin(x)把 ysinx 图象上所有的点向左(0)或向右(0)把 ysin(x)图象上各点横坐标变为原来的1倍(3)振幅变换：ysin(x)yAsin(x)(A0)把 ysi
2、n(x)图象上各点的纵坐标变为原来的 A 倍3函数 yAsin(x)，xR(A0，0)的图象可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当 0 时)或向右(当 1 时)或伸长(当 01 时)或缩短(当 0A0，0，|0，k53(kZ)，由|0)最大值 A 和最小值A；(4)列出一个周期的五个特殊点例 1 已知函数 f(x)2sinx(sinxcosx)(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数 yf(x)在区间2，2上的图象思路探究 欲画 f(x)的图象求 f(x)的周期和最大值，需把 f(x)化成一个角的一个三角函数的形式课堂记录(1)f(x)
3、2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x1 2sin(2x4)，f(x)的最小正周期为，最大值为 1 2.(2)由(1)知x23888382y211 211 22故函数 yf(x)在区间2，2上的图象如下：即时训练 设 f(x)12cos2x 3sinxcosx32sin2x(xR)(1)画出 f(x)在0，上的图象；(2)求函数的单调区间解：y121cos2x2 32 sin2x321cos2x21 32 sin2x12cos2x1sin(2x6)(1)(五点法)x0371256y1221012(2)由22k2x622k，kZ，得单调增区间为6k，k3，kZ.由22k2x632
4、2k，kZ，得单调减区间为3k，k56，kZ.热点之二 三角函数的图象变换(1)平移变换沿 x 轴平移，按“左加右减”法则；沿 y 轴平移，按“上加下减”法则(2)伸缩变换沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 伸长(01)为原来的1倍(纵坐标 y 不变)；沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A1)或缩短(0A0)的图象向右平移6个单位长度后，与函数 ytan(x6)的图象重合，则 的最小值为()A.16 B.14 C.13D.12思路探究 根据三角函数图象变换规律，写出变换后的函数解析式，与另一个函数解析式比较即可课堂记录 将函数 ytan(x4)的图象向右平移6个单位后，得到的函数为 ytan(x6
5、)4tan(x6 4)，这个函数的图象与函数 ytan(x6)的图象重合，根据正切函数的周期是 k，故其充要条件是6 4k6(kZ)，即 6k12(kZ)，当 k0 时，的最小值为12，故选 D.即时训练 (2009山东高考)将函数 ysin2x 的图象向左平移4个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是()Aycos2xBy2cos2xCy1sin(2x4)Dy2sin2x解析：所得解析式是 ysin2(x4)1cos2x12cos2x，故选 B.答案：B 热点之三 求函数 yAsin(x)的解析式确定 yAsin(x)b 的解析式的步骤：(1)求 A，b，确定函数的最大值 M
6、和最小值 m，则 AMm2，bMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，b 已知)或代入图象与直线 yb 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)最值法：代入取得最值点的坐标求.例 3 已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0,00，0,02时，BOM2，hOABM0.85.64.8sin(2)当 02时，上式也成立h 与 间的函数关系式为 h5.64.8sin(2)(2)点 A 在圆上转动的角速度是 30弧度/秒，t 秒转过的弧度数为 30t，h5.64.8sin(30t2)，t0，)首次到
7、达最高点时，h10.4 米，即 sin(30t2)1，30t22，即 t30 秒时，该缆车首次到达最高点即时训练 如右图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7米解：(1)设此人相对于地面的高度为 h，时间为 t，则有 h1210sin 10t(t0)(2)由 h1210sin 10t7 得 sin 10t12，所以76 10t116，即353 t553，所以553 353
8、203，故此人相对于地面的高度不超过 7 米的时间大约为 7 秒从近两年的高考试题来看，函数yAsin(x)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查了利用三角公式进行三角恒等变换的能力例 5(2010山东高考)已知函数 f(x)12sin2xsincos2xcos12sin2(0)，其图象过点6，12.(1)求 的值；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求函数 yg(x)在0，4 上的最大值和最小值 解 (1)因 为 f(x)12
9、 sin2xsin cos2xcos 12 sin 2(0)所以 f(x)12sin2xsin1cos2x2cos12cos12sin2xsin12cos2xcos12(sin2xsincos2xcos)12cos(2x)又函数图象过点(6，12)，所以1212cos26，即 cos3 1.又 0，所以 3.(2)由(1)知 f(x)12cos(2x3)，将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，可知 g(x)f(2x)12cos(4x3)因为 x0，4，所以 4x0，因此 4x33，23，故12cos4x3 1.所以 yg(x)在0，4
10、上的最大值和最小值分别为12和14.1(2010课标全国)如下图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2，2)，角速度为 1，那么点 P 到x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()解析：本题可采用特值法验证P 在 P0 点时，P 点到 x 轴的距离 d 2，此时 t0，故排除 A、D；由已知 1，T22，当 P 点到达 P1 点时，此时 P 点正好在 x 轴上，所以 d0，此时经过 t28 4，故选 C.答案：C2(2010全国)为了得到函数 ysin2x3 的图象，只需把函数 ysin2x6 的图象()A向左平移4个长度单位B向右平移4个长度单位C向左平移2个长度单位D向右平移2个长度单位解析：ysin2x6 sin2x 12，ysin2x3 sin2x6，故应向右平移 126 4个长度单位答案：B
