1、一、导数及其应用1导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率x0时，称为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2几个常用函数的导数(1)若yf(x)c，则f(x)0.(2)若yf(x)x，则f(x)1.(3)若yf(x)x2，则f(x)2x.(4)若yf(x)，则f(x).(5)若yf(x)，则f(x).3基本初等函数的导数公式(1)若f(x)C(C为常数)，则f(x)0.(2)若f(x)x(为常数)，则f(x)x1.(3)若f(x)sin x，则f(x)cos_x.(4)若f(x)cos x ，
2、则f(x)sin_x.(5)若f(x)ax，则f(x)axln_a.(6)若f(x)ex，则f(x)ex.(7)若f(x)logax，则f(x).(8)若f(x)ln x，则f(x).4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3).5复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.6函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个
3、区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值7求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值二、数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念及分类(1)代数形式为zabi(a，bR)，其中实部为a，
4、虚部为b；(2)共轭复数为zabi(a，bR)(3)复数的分类若 zabi(a，bR)是实数，则z与的关系为z.若zabi(a，bR)是纯虚数，则z与的关系为z0(z0)2与复数运算有关的问题(1)复数相等的充要条件abicdi(a，b，c，dR) (2)复数的模复数zabi的模|z|，且z|z|2a2b2.(3)复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；除法：i(z20)3复数的几何意义(1)任何一个复数zab
5、i一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.(2)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量1，2不共线，则复数z1z2是以1，2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(3)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量1，2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数1函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则f(x)在定义域上单调递增()2函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()4若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则在区间a，b上恒有f(x)0.()5“函数f(x)在区间a，b上的导数f
6、(x)0”是“函数f(x)在区间a，b上单调递增”的充分不必要条件()6曲线的切线与曲线的交点有且只有一个()7函数的极大值一定大于极小值()8可导函数极值点x0处，一定有f(x0)0，但f(x0)0时，x0不一定是函数的极值点()9在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()10函数的最大值一定是函数的极大值()11函数在闭区间上的最值一定在端点处或极值点处取得()12若a，b为实数，则zabi为虚数()13复平面内，y轴上的点对应的数一定为纯虚数()14复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.()15复平面内，互为共轭复数的两个数所对应的点关于原点对称()16若z12i，
7、z2i，则z1z2.()17复平面内，一个复数对应一个点，同时也对应一个向量，三者之间满足一一对应关系()18复数与复数相加减后结果只能是实数()19虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()20两个复数的积一定是虚数()1(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0BC1 DC因为z2i2ii2ii，所以|z|1，故选C.2(2018全国卷)i(23i)()A32iB32iC32iD32iDi(23i)2i3i232i，故选D.3(2018全国卷)(1i)(2i)()A3iB3iC3iD3iD(1i)(2i)2i2ii23i.故选D.4(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是(
8、)Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)CA项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C项，(1i)212ii22i，是纯虚数D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选C.5(2017全国卷)(1i)(2i)()A1iB13iC3iD33iB(1i)(2i)2i2i113i.故选B.6(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限Czi(2i)12i，复数z12i所对应的复平面内的点为Z(1，2)，位于第三象限故选C.7(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若
9、f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyxD因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.8(2017江苏高考)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_法一：z(1i)(12i)12ii213i，|z|.法二：|z|1i|12i|.9(2018江苏高考)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_2复数z(12i)(i)2i, 实部是
10、2.10(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_y2x2由题意知，y，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y02(x1)，即y2x2.11(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_xy10y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.12(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.