1、 河北定州中学20172018学年度高三下学期数学期中考试试题一、单选题1设， 为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量， 且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2或 B. 3或 C. D. 32正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（ ）A. B. C. D. 3设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 4过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 5已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6若
2、存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足： 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数, ,有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7已知函数在上非负且可导，满足， ,若,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 8已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9已知， 是椭圆的两个焦点，过原点的直线交于两点， ，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 10已知
3、函数满足如下条件:任意,有成立;当时, ;任意,有成立.则实数的取值范围是A. B. C. D. 11将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）A. 240 B. 480 C. 720 D. 96012已知， 分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于， 两点， 的内切圆半径为， 的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题13设函数的定义域为，若对于任意，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为_14已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线
4、段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为_15已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点_16已知是平面上一点， ， 若，则_；若，则的最大值为_三、解答题17已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.18已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.（1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.19在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求
5、动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.20已知无穷数列的前n项和为，记， ， 中奇数的个数为()若= n，请写出数列的前5项；()求证：为奇数， (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；()若，i=1, 2, 3,，求数列的通项公式.21已知点在椭圆： 上， 是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）椭圆C上不与点重合的两点， 关于原点O对称，直线， 分别交轴于， 两点求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值22已知函数， ，在处的切线方程为.（1）求， ；（2）若方程有两个实数根， ，且，证明：
6、 .23已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.（1）若,求直线的方程；（2）线段的垂直平分线与直线轴， 轴分别交于点，求 的最小值.24椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.参考答案BABAA CAADA 11B12D13141516 17（ 1）（2）3（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.又时，时，.又时，.综上可知，当且仅当时，与的图象有两
7、个交点，即函数有两个零点.（2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根，（设）.由（1）知，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则 .令，则 ，所以函数在上单调递增，故，.又，；，所以函数恰有三个零点.18（1）（2）（1）设点，由题知，整理，得曲线：，即为所求.（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，设直线的斜率为，由题知，由，消去，得，所以，所以 .又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.19(1) (2)6 (1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直
8、线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.20(1)见解析;(2)见解析;(3) .（）解： ， ， ， ， （）证明：（充分性）因为为奇数， 为偶数，所以，对于任意， 都为奇数 所以 所以数列是单调递增数列 （不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数， 均为奇数，所以，数列是单调递增数列 所以“为奇数， 为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件； 综上所述，“为奇数， 为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件（）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与
9、矛盾所以当为奇数时， 不能为偶数 （2）当为偶数时， 如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾所以当为偶数时， 不能为奇数 综上可得与同奇偶所以为偶数因为为偶数，所以为偶数 因为为偶数，且，所以因为，且，所以 以此类推，可得 21（）（）见解析（）依题意，椭圆的另一个焦点为，且 因为， 所以， ， 所以椭圆的方程为 （）证明：由题意可知， 两点与点不重合因为， 两点关于原点对称，所以设， ， 设以为直径的圆与直线交于两点，所以 直线： 当时， ，所以 直线： 当时， ，所以 所以， ， 因为，所以， 所以 因为，即， ， 所以，所以 所以， ，
10、 所以所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值22（1）， ；（2）见解析【解析】试题分析： 在处的切线方程为，求导算出切线方程即可求出结果构造，求导，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，设的根为，证得，讨论证得的根为， ，从而得证结论解析：（1）由题意，所以，又，所以，若，则，与矛盾，故， .（2）由（）可知， ，设在(-1，0)处的切线方程为，易得， ，令即， ，当时， 当时，设， ，故函数在上单调递增，又，所以当时， ，当时， ， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， ，设的根为，则，又函数单调递减，故，故， 设在(0,0)处的切线方程为，易得，令， ，当时， ，当时，故函数
11、在上单调递增，又，所以当时， ，当时， ， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，设的根为，则，又函数单调递增，故，故， 又，.23（ 1）；（2）2（1）设直线l的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24my40，y1y24m，y1y24所以kOAkOB4m4所以m1，所以l的方程为xy10（2）由（1）可知，m0，C(0， )，D(2m21，2m)则直线MN的方程为y2mm(x2m21)，则M(2m23，0)，N(0，2m33m)，F(1，0)， SNDC|NC|xD|2m33m|(2m21)，SFDM|FM|yD|(2m22)2|m|2|m| (m21)， 则12，当且仅当m2，即m2时取等号所以， 的最小值为224(1) ；(2)答案见解析. (1)由已知，椭圆过点，联立得， 椭圆方程为（2）设，已知，都有斜率将代入得设方程方程由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为则，存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.