1、正弦定理、余弦定理 一、选择题1(2021全国卷甲)在ABC中，已知B120，AC，AB2，则BC()A1BCD3D法一：由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos B，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去)故选D法二：由正弦定理，得sin C，从而cos C(C是锐角)，所以sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C又，所以BC3故选D2在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2B2C2DB由Sabsin C2a2，解得a2由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c23对于ABC，有如下命题，其中正确的是()A若sin 2
2、Asin 2B，则ABC为等腰三角形B若sin Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝角三角形D若AB，AC1，B30，则ABC的面积为C对于A项，sin 2Asin 2B，AB或2A2B，即AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，sin Acos B，AB或AB，ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2Asin2B1cos2Csin2C，a2b2c2，ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C，且ABAC，C60或C120，A90或A30，SABCACABsin A或，D不正确故选C4(2020
3、全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B()ABCDA由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C1692439，AB3，所以cos B，故选A5在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形B由cos2得，cos B，又cos B，a2b2c2，ABC是直角三角形，故选B6(2021毕节模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，ABC的周长为5，(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C，则ABC的面积为()ABCDC由题意可得：a，A
4、BC的周长为5，可得bc5，因为(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2c2a2bc2bccos A，因为A(0，)，所以cos A，A，a2(bc)22bc2bccos A，所以10252bcbc，所以bc5，所以SABCbcsin A5，故选C二、填空题7(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsin Aacos B0，则B_bsin Aacos B0，由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1又B(0，)，B8(2021全国卷乙)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为B60，a2c23ac，
5、则b_2由题意得SABCacsin Bac，则ac4，所以a2c23ac3412，所以b2a2c22accos B12248，则b29(2021浙江高考)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC_；cosMAC_2法一：由B60，AB2，AM2，及余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22BCABcosB46428252，所以AC2，所以在AMC中，由余弦定理得cosMAC法二：由B60，AB2，AM2，及余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8过点C作CDBA交BA的延长线于点D，则BD4，AD2，CD4所以在
6、RtADC中，AC2CD2AD248452，得AC2在AMC中，由余弦定理得cosMAC三、解答题10(2019北京高考)在ABC中，a3，bc2，cos B(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b232c223c因为bc2，所以(c2)232c223c解得c5所以b7(2)由cos B得sin B由正弦定理得sin Csin B在ABC中，B是钝角，所以C为锐角所以cos C所以sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C11(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A(1)求A；(
7、2)若bca，证明：ABC是直角三角形解(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0所以0，cos A由于0A，故A(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A由(1)知BC，所以sin Bsinsin 即sin Bcos B，sin由于0B，故B从而ABC是直角三角形1(2021南宁模拟)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2Aasin B，且c2b，则等于()ABCDD由bsin 2Aasin B及正弦定理得2sin Bsin Acos Asin Asin B，又sin Asin B0，cos A又c2b，由余弦定理得a2b
8、2c22bccos Ab24b24b23b2，3，从而，故选D2(2021唐山模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2，b3，c4，设AB边上的高为h，则h等于()ABCDDcos A，则sin A，hbsin A3，故选D3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B
9、为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B(2)由(1)知，ab，在ACM中，由余弦定理得AM2b22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C221已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，且sin Asin C1，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为150的等腰三角形D顶角为120的等腰三角形Dcos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)1sin Asin C，可得sin2Asin2Csin2Bsin A
10、sin C，根据正弦定理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，B(0，180)，B120，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C变形得(sin Asin C)2sin Asin C，又sin Asin C1，得sin Asin C，上述两式联立得sin Asin C，0A60，0C60，AC30，ABC是顶角为120的等腰三角形，故选D2(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B解选条件：c7，cos A，且ab11(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8(2)cos A，A(0，)，sin A在ABC中，由正弦定理，得，sin Cab11，a8，b3，SABCabsin C836若选条件：cos A，cos B，且ab11(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B在ABC中，由正弦定理，可得，又ab11，a6，b5(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin BSABCabsin C65