1、1.掌握椭圆的定义及其标准方程.2.会推导椭圆的标准方程.1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.名师点拨在椭圆的定义中,当定长等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.【做一做1-1】到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是()A.椭圆B.线段 C.圆D.以上答案都不正确 解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段F1F2.答案:B【做一做1-
2、2】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为()A.2B.3C.5D.7 解析:由椭圆的定义,得点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.答案:D 2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系 a2=b2+c2 a2=b2+c2 名师点拨由求椭圆的标准方程的过程可知,只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程.【
3、做一做 2】椭圆24+29=1 的焦点坐标为 .解析:由椭圆的标准方程知焦点在 y 轴上,则 a2=9,b2=4,所以c2=5.故焦点坐标为(0,5)和(0,-5).答案:(0,5)和(0,-5)1.椭圆的定义.剖析:(1)用集合语言叙述为:点集P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|.(2)在椭圆的定义中,若定长等于|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若定长小于|F1F2|,则动点的轨迹不存在.如,动点P到两定点F1(1,0)和F2(-1,0)的距离之和为1,此时定长1小于|F1F2|,由平面几何的知识可知,这样的点不存在.2.椭圆的标准方程.剖析:22+22=1(ab0)
4、为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),且 a,b,c 满足 a2=b2+c2.焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 22+22=1(ab0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),且 a,b,c满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,椭圆的方程才是标准形式).在椭圆的标准方程中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,a,b,c 恰能构成一个直角三角形,且都是正数,a 是斜边,所以 ab,ac,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.名师点拨方程 Ax2+By2
5、=C(A,B,C 均不为 0)可化为2+2=1,即2+2=1.只有当 A,B,C 同号,且 AB 时,方程表示椭圆.当 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 0),则动点P的轨迹为()A.椭圆B.线段 C.椭圆或线段或不存在D.不存在 解析:比较常数a与|F1F2|的大小可知动点P的轨迹.当a6时,轨迹为椭圆.答案:C题型一 题型二 题型三 反思凡涉及动点到两定点距离和的问题,首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),再确定其轨迹.一定要注意2a与两定点间距离的大小关系.题型一 题型二 题型三 求椭圆的标准方程【例2】求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦
6、点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0);分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”.(3)经过点 P(-2 3,1),Q(3,-2).解:(1)椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为22+22=1(ab0).2a=(5+4)2+(5-4)2=10.a=5,a2=25.又 c=4,b2=a2-c2=25-16=9.所求椭圆的标准方程为225+29=1.题型一 题型二 题型三(2)椭圆的焦点在 y 轴上,设它的标准方程为22+22=1(ab0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0),42+02=1,02
7、+12=1 2=4,2=1.所求椭圆的标准方程为24+x2=1.(3)设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,且 mn),点 P(-2 3,1),Q(3,-2)在椭圆上,12+=1,3+4=1.解得 =115,=15.所求椭圆的标准方程为215+25=1.题型一 题型二 题型三 反思已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0且mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的坐标轴.题型一 题型二 题型三【例 3】若方程 25-+2-3=1 表示椭圆,求 k 的取值范围.错解由 5-0,-3 0,得 3kb0 这一条件,
8、当a=b 时,方程并不表示椭圆.正解由题意,得 5-0,-3 0,5-3 3,4.所以 k 的取值范围是 3k4 或 4k|F1F2|;在没有明确椭圆焦点位置的情况下,椭圆的标准方程可能有两个;不要忽略标准方程中ab0这一条件.1到两定点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之和为6的点M的轨迹是()A.椭圆B.线段 C.椭圆或线段或不存在D.不存在 解析:|MF1|+|MF2|=6 2,0,所以 0k1.答案:0kb0)或22+22=1(ab0).由已知条件,得 2=5+3,(2)2=52-32,解得 a=4,c=2,则 a2=16,c2=4,所以 b2=a2-c2=12.故所求椭圆的标准方程为216+212=1 或216+212=1.
