1、考点测试30解三角形的应用高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一、基础小题1在ABC中，AB1，AC3，1，则ABC的面积为()A.B1C.D答案C解析AB1，AC3，|cosA1，cosA，故sinA，SABACsinA，故选C.2. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A100米B50 米C50(1) 米D50 米答案C解析设ABh，ABC中，ACB45，BCh，ADB
2、中，tanADB，解得h50(1)米故选C.3若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmBa kmC2a kmDa km答案D解析如图所示，依题意知ACB1802040120，ACBCa km，在ABC中，由余弦定理，得ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.故选D.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC2ccosBa，且B2C，则ABC的形状是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案B解析2bcosC2ccosBa，2
3、sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)，即sinBcosC3cosBsinC，tanB3tanC，又B2C，3tanC，解得tanC.C(0，)，C，B2C，A，故ABC为直角三角形5泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为()A50 mB100 mC.120 mD150 m答案A解析如图，CD为“泉标”高度，设高为h米由题意，CD平面ABD，AB100米，BAD60，CAD45，C
4、BD30.在CBD中，BDh，在CAD中，ADh，在ABD中，BDh，ADh，AB100，BAD60，由余弦定理可得3h210000h22100hcos60，(h50)(h100)0，解得h50或h100(舍去)，故选A.6. 某小区打算对如图的一直角三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观已知AB20 m，AC10 m，则DEF的面积(单位：m2)的最小值为()A25BC.D答案D解析因为ABC是直角三角形，由AB20，AC10，可得CB10，因为DEF是等边三角形，设CED，DEx，那么BFE30，CExcos，在BFE中，由正弦定理可得，可得x，
5、其中tan.所以x.则DEF的面积Sx2sin60.故选D.7. (多选)如图，ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别是a，b，c，ABC为钝角，BDAB，cos2ABC，c2，b，则下列结论正确的有()AsinABBD2C53DCBD的面积为答案AC解析由cos2ABC，得2cos2ABC1，又ABC为钝角，解得cosABC，在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosABC，得a244a，解得a2，可知ABC为等腰三角形，即AC，所以cosABCcos2A(12sin2A)，解得sinA，故A正确；可得cosA，在RtABD中，cosA，得AD，可得BD1，故B错误；CDbAD，可得
6、，可得53，故C正确；CBD的面积SCBDaCDsinC2，故D错误故选AC.8. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_答案45解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CADba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC0，解得1a3，则0aa2，可得a1，所以1a3，又aZ，故a2.2(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解(1)sin
7、2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理可得BC2AC2AB2ACAB，AC2AB2BC2ACAB，cosA.A(0，)，A.(2)解法一：由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosAAC2AB2ACAB9，即(ACAB)2ACAB9.ACAB2(当且仅当ACAB时取等号)，9(ACAB)2ACAB(ACAB)22(ACAB)2，ACAB2(当且仅当ACAB时取等号)，ABC的周长LACABBC32，ABC周长的最大值为32.解法二：由正弦定理，得2，AB2sinC，AC2sinB.A，CB.ABAC2sin2sinB22sinB3cosBsinB2sin.又0B，当B时，A
8、BAC取得最大值2，ABC周长的最大值为32.3(2020浙江高考)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinAa.(1)求角B；(2)求cosAcosBcosC的取值范围解(1)2bsinAa，结合正弦定理可得2sinBsinAsinA，sinB.ABC为锐角三角形，B.(2)由(1)得CA，则cosAcosBcosCcosAcoscosAcosAsinAsinAcosAsin.由可得A，A，则sin，sin.即cosAcosBcosC的取值范围是.二、模拟大题4(2021四川外国语大学附属外国语学校月考)如图，在四边形ABCD中，ADAB，CAB60，BCD120，A
9、C2.(1)若ABC15，求DC；(2)记ABC，当为何值时，BCD的面积有最小值？并求出最小值解(1)在四边形ABCD中，因为ADAB，BCD120，ABC15，所以ADC135，在ACD中，可得CAD906030，ADC135，AC2.由正弦定理得，解得DC.(2)因为CAB60，ADAB可得CAD30，由四边形内角和为360，得ADC150，所以在ADC中，DC.在ABC中，BC，所以SBCDDCBCsin120，当75时，SBCD取最小值63.5. (2021江西婺源模拟)如图，某大型厂区有三个值班室A，B，C，值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处
10、(1)保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC2千米，求PB的距离；(2)保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲、乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲、乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米)，试问有多长时间两人不能通话？解(1)在RtABC中，AB3，BC4，则AC5，cosC，在PBC中，由余弦定理得，PB2BC2PC22BCPCcosC16416，PB千米(2)设甲、乙出发后的时间为t小时，甲在线段CA上的位置为M，乙在线段AB上的位置为N，则AM55t，AN3t，且t0,1，由题
11、意知，cosA，在AMN中，由余弦定理，得MN2AM2AN22AMANcosA，即MN2(55t)29t2t(55t)52t268t25，若甲、乙不能通话，则MN3，即52t268t259，解得t1，又t0,1，t，两人不能通话的时间为小时6(2021山西太原五中高三二模)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM千米，AN千米(1)求线段MN的长度；(2)若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值解(1)在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2AN22AMANcos1203329，MN3，所以线段MN的长度为3千米(2)设PMN，因为MPN60，所以PNM120，在PMN中，由正弦定理得，2.所以PM2sin(120)，PN2sin，因此PMPN2sin(120)2sin22sin3sin3cos6sin(30)，因为0120，所以3030150.所以当3090，即60时，PMPN取到最大值6.所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米