1、考前30天能力提升特训 1已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n，则f(m)f(n)的最小值是_2.已知函数f(x)x3x2(a23a)x2a.(1)若函数f(x)在x1处有极值，求a的值及f(x)的单调区间；(2)如果对任意x，f(x)a2恒成立，求实数a的取值范围3已知f(x)axlnx，x，g(x)，其中e是自然常数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由113【解析】对f(x)求导，得f(x)3x22ax，由函数在x2处取得极
2、值知f(2)0，即342a20，a3.于是f(x)x33x24，f(x)3x26x，由此可得f(x)在上单调递减，在上单调递增，当m时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.2【解答】对f(x)求导，得f(x)x2(a3)xa23a.(1)在x1处有极值，f(1)(1)2(a3)(1)a23a0，解得a2，此时f(x)x2x2(x1)(x2)令f(x)0，则x2或x1；令f(x)0，则1x2，f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减(2)f(x)a2x2(a3)x3
3、a(x3)(xa)，要使得任意x，f(x)a2恒成立，只需(x3)(xa)0在x1,2上恒成立，令g(x)(x3)(xa)，则g(x)的图象恒过点(3,0)，(a,0)，且开口向上，要使得g(x)0在x1,2恒成立，只需a2，求得a2即可要使得任意x，f(x)a2恒成立，则实数a的取值范围是(，2)3【解答】(1)当a1时，则f(x)xlnx，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当1xe，f(x)0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为 f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，即f(x)在上取最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0xe时，g(x)0，g(x)
4、在上单调递增，g(x)maxg(e)，f(x)ming(x)max，即在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)假设存在实数a，使f(x)axlnx(x)有最小值3，则f(x)a.当a0时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)的最小值不是3；当0e即a时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1lna3，ae2，满足条件；当e即0a时，f(x)在上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时，f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x时，f(x)有最小值3.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
