1、第九节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解1函数有零点的几个等价关系方程f(x)0有函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有零点2函数有零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是的 一 条 曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内 有 零 点，即存在c(a，b)，使得，这 个 c 也 就 是 方 程 f(x)0的实根x轴连续不断f(a)f(b)0(a，b)f(c)0根3用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(
2、2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)1函数f(x)x32x2x2的零点个数为()A0 B1C2D3解析：f(x)x2(x2)(x2)(x2)(x21)f(x)0有三个零点1，1,2.故选D.答案：D2函数 ylgx9x的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9)D(9,10)解析：f(9)f(10)(lg91)(1
3、 910)0)，方程 t2mt10 只有一个正根，由图象可知m20，0，m2.答案：2 热点之一 确定函数的零点函数零点的存在性问题常用的方法有：1解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断2用定理：零点存在性定理特别警示：如果函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)0不一定成立3利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)图象，其交点的横坐标是f(x)g(x)的零点判断下列函数在给定区间上是否存在零点 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x
4、1,2；(3)f(x)log2(x2)x，x1,3课堂记录 利用函数零点的存在性定理或图象进行判断(1)解法一：因为f(1)200所以f(1)f(8)0故f(x)x23x18，x1,8存在零点解法二：令x23x180，解得x3或6所以函数f(x)x23x18在x1,8上存在零点(2)f(1)10f(x)x3x1，x1,2存在零点(3)f(1)log2(12)1log2210.f(3)log2(32)3log2830.f(1)f(3)0.故f(x)log2(x2)x在x1,3上存在零点即时训练 若 x0 是方程(12)x的解，则 x0 属于的区间是()A(23，1)B(12，23)C(13，12
5、)D(0，13)答案：C 热点之二 用二分法求函数零点的近似值1根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算便结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值或区间内任一值例2 若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为()A1.2B1.3C1.4D1.5f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)
6、0.054思路探究 根据用二分法求方程近似解的方法，确定方程的根所在的长度最短的区间，只要这个区间的长度小于精确度要求，这个区间内的任何一个值都可以作方程的近似解课堂记录 由于f(1.40625)0.0540，精确到0.1，有1.406251.4，且1.43751.4，故选C.思维拓展 本题具体地考查用二分法求方程的近似解，难点在于对近似解所在区间的选取根据二分法求方程的近似解时区间取舍的规则，当区间的长度小于精确度时，这个区间的任何一个值都可以是方程的近似解，故本题的区间选取方法是实根在区间上，而这个区间的长度小于精确度即时训练 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是1,5，精确度要求是0
7、.001，则需要计算的次数是_解析：设需计算 n 次，则 n 满足 42n4000.由于2124096，故计算 12 次就可以满足精确度要求答案：12热点之三 一元二次方程根的分布问题解决一元二次方程的实根分布问题时一定要注意结合图象，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等例3 已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围思路探究 利用韦达定理或数形结合求解课堂记录 解法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1
8、x2)10，由韦达定理得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.解法二：函数的大致图象如右图所示，则有f(1)0，即1(a21)a20，a2a20，2a1.求证：方程的正根比1小，负根比1大解：原方程整理后，得2a2x22ax1a20，令f(x)2a2x22ax1a2，因a1，则f(x)是开口向上的抛物线，且f(0)1a20.要证明负根比1大，只需证f(1)0.因为f(1)2a22a1a2(a1)20.f(1)2a22a1a2a22a1(a1)20.方程的正根比1小，负根比1大热点之四 函数零点的综合应用函数零点的综合应用一般为解答题，综合能力较强，形式表现有：(1)根据函数零点、逆向思
9、维确定参数的取值范围(2)探索性问题，探求零点存在条件或零点个数例 4 已知二次函数 f(x)ax2bxc.(1)若 abc，且 f(1)0，试证明 f(x)必有两个零点；(2)若对 x1，x2R 且 x10.(2)构造函数 g(x)利用 g(x1)g(x2)bc，a0，c0，即ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，所以函数f(x)有两个零点(2)令 g(x)f(x)12f(x1)f(x2)，则 g(x1)f(x1)12f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)2.g(x2)f(x2)12f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)2g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2f(x2)f(x1)
10、214f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0，g(x)0 在(x1，x2)内必有一实根即 f(x)12f(x1)f(x2)在(x1，x2)内必有一实根即时训练 x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2bxc0 和ax2bxc0 的一个根，且 x1x2，x10，x20.求证：方程a2x2bxc0 有一个根介于 x1 和 x2 之间证明：由于 x1 与 x2 分别是方程 ax2bxc0 和ax2bxc0 的根，所以有ax12bx1c0，ax22bx2c0.设 f(x)a2x2bxc，则 f(x1)a2x12bx1ca2x12，f(x2)a2x22bx2c3a2 x22
11、.于是 f(x1)f(x2)34a2x12x22，由于 x1x2，x10，x20，所以 f(x1)f(x2)0，f(2)4sin52，由于52，所以sin50，故f(2)0，故函数在0,2上存在零点；由于f(1)4sin(1)10，而 f(2)0的零点的个数为()A0 B1C2 D3解析：由 f(x)0，得x0，x22x30 或x0，2lnx0，解之可得 x3 或 xe2，故零点个数为 2，选 C.答案：C2(2010天津高考)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：f(1)213(1)520，f(1)f(0)0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：设函数yax(a0，且a1)和函数yxa，则函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，就是函数yax(a0，且a1)与函数yxa有两个交点，由图象可知当0a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是a|a1答案：a|a1