1、1万州二中高 2021 级高二上期第一次月考数学试题一选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）1直线320 xy的倾斜角为()A 6B 4C 3D 562圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A22(1)(1)1xyB22(1)(1)1xyC22(1)(1)2xyD22(1)(1)2xy3直线 3450 xy与圆221xy 的位置关系是()A相交B相切C相离D无法判断4在长方体1111ABCDA B C D中，已知1B D 与平面 ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为 30，则()A2ABADB AB 与平面11AB C D 所成的角为30C1ACCBD1B D 与平
2、面11BB C C 所成的角为 455在平面直角坐标系中，(0,1)A，(0,4)B，C 是直线 yx上的一动点，M 是圆2213(2)25xy上一点，则当|CACB最小时，|MC 的最小值为()A135B 2 135C 3 135D 136已知圆221:20Oxyty与 y 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(1,2)圆2O 过 A，B，C 三点，当实数t 变化时，存在一条定直线 l 被圆2O 截得的弦长为定值，则此定直线 l 的方程为()A250 xyB 20 xyC210 xy D20 xy7在平面直角坐标系 xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24120C xymxym内，
3、动直线 AB 过点 P且交圆 C 于 A，B 两点，若ABC的面积的最大值为 8，则实数 m 的取值范围是()A(32 3，15，32 3)B1，5C(32 3，32 3)D(，32 3)(32 3，)28已知矩形 ABCD，M 是边 AD 上一点，沿 BM 翻折 ABM，使得平面 ABM 平面 BCDM，记二面角ABCD的大小为，二面角 ADMC的大小为 ，则()ABC2D2二多选题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）9下列说法中，正确的有()A点斜式11()yyk xx可以表示任何直线B直线42yx在 y 轴上的截距为 2C直线 230 xy关于0 xy对称的直线方程是230 xy
4、D点(2,1)P到直线(1)30axaya的最大距离为 2 1010下列结论正确的是()A过点(2,3)A 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5xy B圆224xy上有且仅有 3 个点到直线:20l xy的距离都等于 1C已知0ab，O 为坐标原点，点(,)P a b 是圆222:E xyr外一点，且直线 m 的方程是2axbyr，则直线 m 与圆 E 相交D已知直线10kxyk 和以(3,1)M，(3,2)N为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为1322k 11已知点0(P x，0)y是直线:4l xy上的一点，过点 P 作圆22:2O xy的两条切线，切点分别为 A，B，连接
5、OA，OB，则()A当四边形 OAPB 为正方形时，点 P 的坐标为(2,2)B|PA 的取值范围为 6，)C当 PAB为等边三角形时，点 P 的坐标为(2,2)D直线 AB 过定点 1(2，1)212若点 P 是棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D表面上的动点，点 M 是棱11A D 的中点，则()A当点 P 在底面 ABCD 内运动时，三棱锥11PC D M的体积为定值B当 APDM时，线段 AP 长度的最大值为 4C当直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 45时，点 P 的轨迹长度为 4 2D直线 DM 被正方体1111ABCDA B C D的外接球所截得的线段的长度为
6、 6 553三填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13函数log(1)3(0ayxa，1)a 的图象恒过定点 A，过点 A 的直线 l 与圆22(1)1xy 相切，则直线 l 的方程是14(3,0)M是圆22:82100C xyxy内一点，最短的弦所在的直线方程是15已知圆22:1214600M xyxy，圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线8x 上，则圆 N 的标准方程为16如图，在四棱台ABCDA B C D 中，6AA，9060BADBAADAA ，则|()|(,)ACxAByADx yR 的最小值为四解答题（共 6 小题）17（本题满分 10 分，第
7、一问 4 分，第二问 6 分）已知ABC的三个顶点分别为(0,4)A，(2,0)B，(2,2)C 求：（1）AB 边中线所在的直线方程；（2）ABC的外接圆的方程18（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 45ac，3cos5C（）求 sin A 的值；（）若11b，求 ABC的面积19（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，24PAAD，且2 6PC，点 E 在 PC 上（1）求证：BD 平面 PAC；（2）若 E 为 PC 的
8、中点，求二面角 B-ED-C 的余弦值420（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）已知过点(0,1)A且斜率为 k 的直线 l 与圆22:(2)(3)1Cxy 交于点 M、N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）若12OM ON，其中 O 为坐标原点，求|MN 21（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）如图所示，直角梯形 ABCD 中，/ADBC，ADAB，22ABBCAD，四边形 EDCF 为矩形，3CF，平面 EDCF 平面 ABCD（）求证：/DF平面 ABE；（）在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为34？若存在
9、，求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由22（本题满分 12 分，第一问 4 分，第二问 8 分）平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心的圆被直线320 xy截得弦长为 2 3（1）求圆 O 的方程；（2）过点(0,1)P的直线与圆 O 交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 Q，设 QAPA，QBPB，求证：为定值1万州二中高 2021 级高二上期第一次月考答案一选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）（18）DDBDABAD（912）BDBCBCDACD二多选题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13、4310 xy 或2x 14、30 xy15、22749(8)()63
10、6xy16、3 2四解答题（共 6 小题）17、（本题满分 10 分，第一问 4 分，第二问 6 分）解：（1）已知ABC的三个顶点分别为(0,4)A，(2,0)B，所以 AB 中点(1,2)M，40202ABk，所以中线方程为12(1)2yx，即230 xy（2）解法一：设外接圆方程为22220(40)xyDxEyFDEF所以16404208220EFDFDEF，解得228DEF 故圆的方程为：222280 xyxy解法二：已知ABC的三个顶点分别为(0,4)A，(2,0)B，所以 AB 中点(1,2)M，2CMk，AB 中垂线方程为：1322yx，BC 中垂线1y ，联立方程组得1,1.x
11、y圆心(1,1)D，半径10AD 2所以外接圆方程为22(1)(1)10 xy18、（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）解：（）因为3cos05C，所以(0,)2C，且24sin15Ccos C，由正弦定理可得：sinsinacAC，即有sin545sinsin455aCaACcc；（）因为5454acacc，所以 AC，故(0,)2A，又因为5sin5A，所以2 5cos5A，所以11 5sinsin()sin()sincoscossin25BACACACAC；由正弦定理可得：5 5sinsinsinacbACB，所以5 5 sin5aA，所以114sin5 1122225
12、ABCSabC 19、（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）（1）证明：因为 PA 底面 ABCD，AC、BD 底面 ABCD，所以 PAAC，PABD，所以222 2ACPCPA，222CDACADAD，所以矩形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，因为 PAACA，所以 BD 平面 PAC（2）方法一：解：由（1）知 AB、AD、AP 两两垂直，建系如图，(0A，0，0)，(0D，2，0)，(0P，0，4)，(2C，2，0)，(1E，1，2)，(2BD ，2，0），(1DE，-1，2)，(2DC，0，0)，设平面 BED 一法向量为(,)mx y z，则0BD m，0DE
13、m，即0 xy，20 xyz，所以可取(1,1,0)m，设平面 EDC 一法向量为 n，则0DC n，0DE n，可取(0,2,1)n 3OFcos=m n|m|n|n|=25 2=105因为二面角 B-ED-C 为锐二面角，所以二面角 B-ED-C 的余弦值为105 方法二：由（1）知矩形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，设 BDACO，连接OE，则 O 为 AC 中点，E 为 PC 中点，则 EOAP，则 EO面 ABCD，则 EOAC，因为 EOBDO，则 AC面 BED，作 CFED 交 ED 于点 F，连接 OF，则 EDOF，EDCF，所以二面角 B-ED-C 平面角为CFO。
14、因为 AP面 ABCD，所以 APCD，因为矩形 ABCD，所以 ADCD，因为 APAD=A，所以 CD面APD，所以 CDPD。在 RtPCD 中，E 为 PC 中点，所以 ED=EC=12 =6，CD=2，因为 CFED，所以 CF=2 56，因为 OC=12 =2，所以 sinCFO=35，所以 cosCFO=25=105.所以二面角 B-ED-C 的余弦值为105 20、（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点(0,1)A的直线方程：1ykx，即：10kxy 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标(2,3)，半径1R 故由2|2
15、31|11kk，故当 474733k，过点(0,1)A的直线与圆22:(2)(3)1Cxy 相交于 M，N 两点（2）设1(M x，1)y；2(N x，2)y，由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为1ykx，代入圆 C 的方程22(2)(3)1xy，可得22(1)4(1)70kxkx，1224(1)1kxxk，12271xxk，212121212(1)(1)()1yykxkxk x xk xx2222274(1)12411111kkkkkkkk，由2121221248121kkOM ONxxyyk，解得1k ，故直线 l 的方程为1yx，即10 xy 圆心 C 在直线 l 上，MN 长即
16、为圆的直径所以|2MN 421、（本题满分 12 分，第一问 5 分，第二问 7 分）解：（）证明：取 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示；则(1A，0，0)，(1B，2，0)，(0E，0，3)，(1F ，2，3)，(1BE ，2，3)，(0AB，2，0)，设平面 ABE 的法向量为(nx，y，)z，23020 xyzy，不妨设(3n，0，1)，又(1DF ，2，3)，3030DF n ，DFn；又DF 平面 ABE，/DF平面 ABE；（）设(1DPDF，2，3)(，2，3)，0，1；(P，2，3)，(1BP，22，3)，又平面 ABE
17、 的法向量为(3n，0，1)，sin|cosBP，|n|BP nBPn 222|3(1)3|(1)(22)(3)234，化简得28610，解得12 或14；当12 时，3(2BP ，1，3)2，|2BP；当14 时，5(4BP ，32，3)4，|2BP；综上，|2BP 22、（本题满分 12 分，第一问 4 分，第二问 8 分）解：（1）设圆 O 的半径为 r，圆心到直线320 xy的距离为 d，则22|2|11(3)d，则2(3)12r 圆 O 的方程为224xy；证明：（2）当 AB 与 x 轴垂直时（不妨设 A 在 x 轴上方），此时 Q 与 O 重合，从而2，23，83；当点 Q 与点 O 不重合时，直线 AB 的斜率存在，设:1AB ykx，1(A x，1)y，2(B x，2)y，则1(Qk，0)，5由 QAPA，QBPB，得：111xxk，221xxk，即12121211112xxkxkxkx x 联立2214ykxxy，得22(1)230kxkx则222412(1)16120kkk12221kxxk，12231x xk，1212282233xxkkx xk综上，为定值 83
