1、考点规范练29数系的扩充与复数的引入基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案:C解析:由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.(2020广西南宁二模)设复数z满足z(1-i)=2+i,则z=()A.12+32iB.12-32iC.1+3iD.1-3i答案:B解析:z=2+i1-i=(2+i)(1+i)2=12+32i,z=12-32i.故选B.3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)答案:B解析:设z=(1-i)(a+i)=(a
2、+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+10,解得a-1.故选B.4.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案:D解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,故a=4.5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=2答案:D解析:z=1-i,|z|=1+1=2,故选D.6.若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i
3、2=1+i.故选D.7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i答案:A解析:由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)(1-i)=2.故选A.8.(2020山东烟台模拟)若复数z满足z(-1+2i)=|1-i|2(i为虚数单位),则复数z的虚部为()A.-45B.45iC.45D.-45i答案:A解析:由z(-1+2i)=|1-i|2=(2)2=2,得z=2-1+2i=2(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)=-25-45i,所以复数z的虚部为-45.故选A.9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单
4、位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z1=2+2i,z2=1-3i,z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为-125,45,位于第二象限.故选B.10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案:10解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+32=10.11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别
5、是z1,z2,则z2z1=.答案:-1-2i解析:由题意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=2-ii=(2-i)(-i)i(-i)=-1-2i.12.已知aR,i为虚数单位.若a-i2+i为实数,则a的值为.答案:-2解析:a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,-a+25=0,即a=-2.能力提升13.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案:C解析:设z=x+yi(x,yR).因为z-i=x+(y-1)i,
6、所以|z-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.14.(2020山东滨州三模)已知xR,当复数z=2x+(x-3)i的模最小时,z的虚部为()A.2B.2C.-2D.-2i答案:C解析:z=2x+(x-3)i,|z|=2x2+(x-3)2=3x2-6x+9,当x=1时,|z|有最小值,此时z=2-2i.z的虚部为-2.故选C.15.已知z1,z2为复数,下列命题一定成立的是()A.如果z12+z22=0,那么z1=z2=0B.如果|z1|=|z2|,那么z1=z2C.如果|z1|a,a是正实数,那么-az1aD.如果|z1|=a,a是正实数,那么z1z1=a2答案:D
7、解析:对于A,如果z1=1-i,z2=1+i,那么z12+z22=0,所以z1=z2=0不正确.对于B,如果z1=1-i,z2=1+i,那么|z1|=|z2|,所以z1=z2不正确.对于C,|z1|a,a是正实数,说明复数对应的点到原点的距离小于a,所以-az1a不正确.对于D,|z1|=a,a是正实数,设z1=c+di,则c2+d2=a2,那么z1z1=(c+di)(c-di)=c2+d2=a2,所以正确.故选D.16.已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.答案:52解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2
8、=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.17.已知复数z=3+i(1-3i)2,z是z的共轭复数,则zz=.答案:14解析:z=3+i(1-3i)2=3+i-2-23i=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2(1+3i)(1-3i)=23-2i-8=-34+14i,故z=-34-14i,zz=-34+14i-34-14i=316+116=14.18.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos +(+3sin )i(m,R),且z1=z2,则的取值范围是.答案:-916,7解析:由复数相等的充要条件可得m=2cos,4-m2=+3sin,化简,得4-4cos2=+3sin,由此可得=-4cos2-3sin+4=-4(1-sin2)-3sin+4=4sin2-3sin=4sin-382-916,因为sin-1,1,所以4sin2-3sin-916,7.所以的取值范围为-916,7.高考预测19.已知i是虚数单位,z=1+i-3i2 020,且z的共轭复数为z,则zz=()A.3B.5C.5D.3答案:C解析:z=1+i-3i2020=1+i-3i4505=-2+i,|z|=(-2)2+12=5.zz=|z|2=(5)2=5.故选C.