1、第二节一元二次不等式(组)与简单线性规划问题一、填空题1. 已知点P(x，1)和点A(1,2)在直线l：3x2y80的异侧，则x的取值范围为_2. (2011苏北联考调研)已知则2xy2的最大值等于_3. 若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_4. (2010山东改编)设变量x，y满足约束条件则目标z3x4y的最大值和最小值分别为_5. 已知x，y满足约束条件则x2y22x的最小值是_6. 设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的值有最大值12，则的最小值为_7. (2010四川改编)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲
2、车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料_箱，乙车间加工原料_箱8. 已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_9. 若定义在R上的减函数yf(x)，对于任意的x，yR，不等式f(x22x)f(2yy2)成立且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，则当1x4时，zx2y的取值范围是_二、解答题10.
3、(2011苏州基础训练)已知求：(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的范围11. (2011南通模拟)设实数x，y满足求u的取值范围12. 某人上午7点，乘摩托艇以匀速v海里/时(4v20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30w100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4点至晚上9点到达C市设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x，y小时(1)写出x，y所满足的条件，并在平面直角坐标系内作出表示x，y范围的图形； (2)如果已知所需的经费p1003(5x)2(8y)(元)，那么v，w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？参考
4、答案1. 解析：把点A代入直线方程的左侧得31+22-8=-10，所以3x+2(-1)-80，即x.2. 2解析：令z=x+y-2，如图，当z=x+y-2过点(1,2)时，zmax=1；2x+y-2的最大值为2.3. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分由得A(1,1)又B(0,4)，C，SABC=1=，设y=kx+与3x+y=4的交点为D(xD，yD)，则由SBCD=SABC=，得xD=，yD=，=k+，解得k=.4. 3，-11解析：画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y平移到点(5,3)时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线z=3x-4y平移到点(3,5)时，目
5、标函数z=3x-4y取得最小值-11.5. 0解析：x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示可行域上的点(x，y)与点(-1,0)的距离的平方值减1.易知原点到(-1,0)的距离最小，故最小值为0.6. 解析：不等式表示的平面区域如图所示(阴影部分)，当直线ax+by=z(a0， b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a0，b0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而+=+2=(当且仅当a=b=时取等号)7. 1555解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y.结合图象可得：当x
6、=15，y=55时，z最大，8. 解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1=，k2=-，不等式组表示的平面区域为阴影部分tanAOB=1，AOB=， 弧长为2=.9. 0,12解析：y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y=f(x)关于原点对称，即为奇函数，所以f(x2-2x)-f(2y-y2)变为f(x2-2x)f(y2-2y)，因为y=f(x)在R上是减函数，所以x2-2xy2-2y恒成立，即(x-y)(x+y-2)0恒成立，则有或又1x4，由线性规划知，不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数线过点C(4，-2)时有最小值，过点B(4,4)时有最大值，所以z=x+2y的取值
7、范围是0,1210. 如图，作出可行域，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)(1)易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，故x+2y-40，将C(7,9)代入目标函数得z的最大值为21.(2)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，AC的直线方程为x-y+2=0，d=.故z的最小值是|MN|2=.(3)z=2表示可行域内任一点(x，y)到定点Q连线斜率的两倍；因为kQA=，kQB=.故z的取值范围为.11. 在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，令t=，根据几何意义，t的
8、值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点A，B是其中的两个临界值，点A(3,1)，点B(1,2)，故t2，u=t+，这个关于t的函数在上单调递减，在1,2上单调递增，故其最小值为2，最大值为两个端点值中的大者，计算知最大值为，故u=的取值范围为.12. (1) 由题意得：v=，w=，4v20,30w100，3x10，y.由于汽车、摩托艇所需要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9x+y14，因此满足的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界)(2) 因为p=100+3(5-x)+2(8-y)，所以3x+2y=131-p，设131-p=k，那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为-的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当x=10时，p最小，此时y=4，v=12.5，w=30，p的最小值为93元