1、考点规范练25解三角形基础巩固1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.(2020辽宁锦州期末)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,c=23,A=30,则角C为()A.60B.60或120C.45D.45或135答案:B解析:由正弦定理得asinA=csinC,即212=23sinC,得sinC=32,ca,CA,得C=60或C=120.3.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边
2、,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,又B(0,),sinB0,cosB=12,B=3.S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.在三角形ABC中,若sin Csin(A-B)=sin2(A+B),则此三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:A解析:在ABC中,sin(A+B)=sinC,s
3、inCsin(A-B)=sin2C,又sinC0,故sin(A-B)=sinC=sin(A+B),得sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即2cosAsinB=0,cosA=0或sinB=0(不合题意,舍去),A=90.则此三角形为直角三角形.5.(2020广西贵港四模)已知ABC中,BC边上的中线AD=3,BC=4,BAC=60,则ABC的周长为()A.46+4B.43+4C.52+4D.213+4答案:A解析:在ABD和ADC中,根据余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=13-12cosADB,AC2=AD2+CD2-2ADCDcos
4、ADC=13-12cosADC,AB2+AC2=26,又BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=26-ABAC=16,ABAC=10,(AB+AC)2=AB2+AC2+2ABAC=26+20=46.AB+AC=46.故ABC的周长为AB+AC+BC=46+4.6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案:63解析:b2=a2+c2-2accosB,由题意可得(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsinB=12432332=63.7.(2020陕西西
5、安模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C,a=3,则ABC的外接圆面积为.答案:解析:由于sin2A-sin2B=sin2C-sinBsinC,利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc,整理得cosA=b2+c2-a22bc=12,由于A(0,),所以A=3,设ABC外接圆半径为R,则2R=asinA=332=2,故R=1.所以所求面积为12=.8.在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案:6解析:由题意及正弦定理,可知ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=332,则sinADB
6、=22,又0ADB60,故ADB=45.所以12A=180-120-45,故A=30,则C=30,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=6.9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75,观察C点的俯角为30;在B位置时,观察D点的俯角为45,观察C点的俯角为60,且AB=3 km,则C,D之间的距离为.答案:5 km解析:在ABD中,BAD=75,ABD=45,ADB=60.由正弦定理可得ABsinADB=ADsinABD,即3sin60=ADsin45,AD=3sin45sin60=2(km),由题意得ABC=120,BAC=
7、BCA=30,BC=AB=3km,AC=3km.在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADsinDAC=5,即CD=5km.10.(2020湖北武汉模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,b=2acos C.(1)判断ABC的形状;(2)若b=2,ABC的面积为22,BC的中点为D,求AD的长.解:(1)b=2acosC可化为sinB=2sinAcosC.又B=-(A+C),所以sin(A+C)=2sinAcosC,可得sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,可得sinAcosC-cosAsinC=0,可得sin(A-C)=0.因为0A,0C,所以
8、-A-C0,tanC0,可得1-13tan2A3.12.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案:A解析:在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.又sinA0,cosB=12,即B=3.又b=4,故由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,当且仅当a=c时取等号,
9、因此,ABC的面积S=12acsinB=34ac43,故选A.13.(2020浙江绍兴二模)在四边形ABCD中,BAD=60,BCD=120,BC=23,BD=5,则cosBDC=,ABAC的最大值为.答案:4530解析:在BCD中,BCD=120,BC=23,BD=5,由正弦定理得,BCsinBDC=BDsinBCD,解得sinBDC=23325=35.又0BDC60,cosBDC=45.在四边形ABCD中,BAD+BCD=60+120=180,故A,B,C,D四点共圆,故BAC=BDC,在ABC中,BC=23,由余弦定理和基本不等式,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC2ABA
10、C-2ABACcosBDC=25ABAC,1225ABAC,解得ABAC30.故ABAC的最大值为30.14.设函数f(x)=sin2x-6+2cos2x.(1)当x0,2时,求函数f(x)的值域;(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=32,2a=3b,c=1+3,求ABC的面积.解:(1)由已知得,f(x)=32sin2x-12cos2x+cos2x+1=32sin2x+12cos2x+1=sin2x+6+1.x0,2,62x+676,12sin2x+6+12.函数f(x)的值域为12,2.(2)f(A)=sin2A+6+1=32,sin2A+6=12.又0A,6
11、2A+6136,2A+6=56,即A=3.2a=3b,由正弦定理得,2sinA=3sinB,sinB=22.又0B23,B=4.sinC=sin(A+B)=6+24.由正弦定理得,bsinB=csinC=1+36+24=22,b=2.SABC=12bcsinA=3+32.高考预测15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A;(2)若a=2,b=23,求角C.解:(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsinA=2bc3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33.又0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,当B=3时,C=2;当B=23时,C=6.7