1、第三章 三角函数、解三角形内容分析1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面积公式等2三角函数同二次函数、幂函数、指数函数、对数函数一样，其图象、性质和应用是考查的重点，其中yAsin(x)的图象是研究函数图象变换的代表3三角恒等式的化简、求值和证明，是培养学生分析问题、解决问题能力和提升学生思维品质的良好载体公式的逆用和变形用都需要较强的应变能力4解三角形进一步体现了数学的应用性，正弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培养学生的建模、解模能力5本章概念多、公式多(如同角三角函数关系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决
2、定了学习本章要加强记忆本章与其他章节联系也很密切，是综合应用所学知识的一章命题热点近几年的高考中，对本章内容的考查多以选择题和填空题的形式出现，解答题独立命题的情形也有，主要是三角与其他知识的综合渗透，如与数列、不等式综合；独立命题，考查三角函数性质及图象变换从高考试题分析，高考对本章考查侧重于：1三角函数的性质、图象及其变换，主要是yAsin(x)的性质、图象及变换2已知三角函数值求角3灵活运用公式，通过简单的三角恒等变换解决三角函数的化简、求值或证明问题，借助三角变换解与三角形有关的问题根据高考的最新动态，我们预测今后有关三角函数高考命题的趋势是：试题的题型、题量及难度将基本保持稳定三角函
3、数是重要的基本初等函数，是研究其他知识的重要工具，高考将注重基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查考查的重点仍是三角函数的定义、图象和性质新教材更加突出了应用问题的地位，这也是今后的命题方向.第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号4理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义1终边相同的角(1)所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合或(2)终边相同的角的同一三角函数的值，即sin(k2)(其中kZ)；cos(k2)(其中kZ)；t
4、an(k2)(其中kZ)|k360，kZ|2k，kZ相等sincostan2弧长及扇形的面积公式l|r，S12lr12|r2，其中 l 为扇形弧长，为圆心角，r为扇形半径3三角函数的定义已知 P(x，y)是角 终边上任一点，|OP|r，则三角函数定义式定义域正弦函数sinyrR余弦函数cosxrR正切函数tanyx|k2，kZ4.各象限角的三角函数值的符号可用口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断5三角函数线图1图中有向线段MP、OM、AT分别表示、正弦线余弦线正切线1点P(tan2007，cos2007)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：20073606153，20
5、07与153的终边相同，2007是第三象限角，tan20070，cos20070tan0，解得(4，2)(，54)答案：(4，2)(，54)5设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则a，b，c的大小关系为_解析：asin1，bcos1，ctan1，a0，c0.又sin1tan1，cab.答案：cab 热点之一 终边相同角的表示1角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x2k2，kZ，也可以表示为x|x2k32，kZ2(1)利用终边相同的角的集合 S|2k，kZ判断一个角 所在的象限时，只需把这个角写成0,2范围内的一个角 与 2 的整数倍的
6、和，然后判断角 的象限(2)角度制和弧度制不能混用，如 2k30(kZ)，k3602(kZ)都是不正确的例 1(1)如果角 是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限？(2)写出终边落在直线 y 3x 上的角的集合；(3)若 是与 168终边相同的角，求在0，360)内终边与3角的终边相同的角思路探究(1)一般地，角与终边关于x轴对称；角与终边关于y轴对称；角与终边关于原点对称(2)求终边落在某一直线上的角的集合，只需找到(0，)内终边落在此直线上的角，然后代入S|k，kZ，集合S即为所有角的集合(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然
7、后通过对集合参数k赋值来求得所需角课堂记录(1)2k32 2k(kZ)，32 2k2k(kZ)，即22k2k(kZ)角终边在第二象限又由各边都加上，得32 2k22k(kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)内终边在直线 y 3x 上的角是3，终边在直线 y 3x 上的角的集合是|3k，kZ(3)168k360(kZ)，356k120(kZ)056k120360，k0,1,2 时，30，360)故在0，360)内终边与3角的终边相同的角是 56，176，296.即时训练 若 是第二象限角，则2是第几象限的角？解：由 是第二象限的角，得k36090k360180，kZ.(1)k1
8、80452k18090，kZ.当 k2n，nZ 时，2n1804522n18090，nZ，则2是第一象限角；当 k2n1，nZ 时，2n18022520)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积课堂记录(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，603，R10(cm)，l103(cm)，S 弓S 扇S12103 1012102sin3503 32(cm2)(2)扇形周长 C2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22 144C216.当 4，即 2(2 舍去)时，扇形面积有最大值C216.思维拓展 涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构
9、简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示即时训练 已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB的长解：设 AmB 的长为 l，OAr，S 扇形12lr，12lr2(cm2)又由已知lr4由得 r1，l4，扇形的周长为 l2r4216(cm)如右图，作 OHAB 于 H，则 AB2AH2rsin2422rsin(2)2sin2(cm)热点之三 三角函数的定义1已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解2已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角
10、为特殊角，也可直接写出角的值例3 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan的值思路探究 本题求的三角函数值依据三角函数的定义，可在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，求出r，由定义得出结论课堂记录 角 的终边在直线 3x4y0 上，在角 的终边上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t.r x2y2(4t)2(3t)25|t|，当 t0 时，r5t，sinyr3t5t 35，cosxr4t5t45，tanyx3t4t 34；当 t0 时，r5t，sinyr3t5t35，cosxr 4t5t45，tanyx3t4t 34.即时训练 已知角 的终边上一点的坐标
11、为(sin53，cos53)，则角 的最小正值为()A.56 B.23C.53D.116解析：sin53 0，点(sin53，cos53)落在第二象限，又tancos53sin53 33，656，故选 A.答案：A 热点之四 三角函数的符号判定1判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限2对于已知三角函数的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限例 4(1)判断下列各式的符号：sin340cos265；sin4tan234 .(2)判断下列各式中角 的终边所在的象限sintan0 且 sincos0.思路探究 确定符号，关键是确定每个因式的符号，而
12、要分析因式的符号，则关键是看角所在的象限课堂记录(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin3400，cos2650.432，4 弧度角是第三象限角234 64，234 弧度角是第一象限角sin40，sin4tan234 0.(2)sintan0，tan0，或sin0，的终边在第二或第三象限tansincos0，sincos0又sincos0，sin0 且 cos0，角 的终边在第一象限即时训练 (1)若 sincos0，则 在第_象限(2)若 是第一象限角，则 sin2，cos2，sin2，cos2，tan2中一定为正值的有_个解析：(1)sincos0，故 sin，cos 异号，显
13、然 只有在第二、四象限才符合要求(2)由 是第一象限角，得 2k2k2，kZ，4k20；同理可知2是第一或第三象限角，此时 tan20 一定成立综上，一定为正值的有 2 个答案：(1)二、四(2)2三角函数的概念是三角函数的基础，也是高考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一，试题经常出现且多为选择题、填空题，难度一般不高，主要考查角的范围判定，三角函数值的符号例 5(2009北京高考)“6”是“cos212”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 当 6时，cos2cos312；而当 6时，cos2cos(3)12.这说明当 cos212时，除6还可以取其他的值所以“6”是“cos212”的充分而不必要条件答案 A1(2008全国)若sin0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：由sin0得是第三象限角，选C.答案：C2(2007北京高考)已知costan0，那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角解析：costan0cossincos0sin0k2，kZ 为第三或第四象限角故选 C.答案：C