1、山西省太原市2020届高三数学模拟考试试题（三）理（含解析）第卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax|x23x+20，Bx|x+1a，若ABR，则实数a的取值范围是（ ）A. 2，+）B. （，2C. 1，+）D. （，1【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，B，再由ABR求解.【详解】集合Ax|x23x+20x|x1或x2，Bx|x+1ax|xa1，又因为ABR，a11，解得a2，实数a的取值范围是（，2.故选：B.【点睛】本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解
2、的能力，属于基础题.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出【详解】解：，2i在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限故选：D【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】举反例说明A,B,D不正确，根据幂函数单调性证明C成立.【详解】当时满足，但所以A,B,D不正确，因为为上单调递减函数，且所以，故选：C【点睛】本题考查利用不等式性质比较大
3、小、幂函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知，(0, )，则=A. 1B. C. D. 1【答案】A【解析】【详解】，即，故故选5.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当n1时，a3，b2，满足进行循环的条件，当n2时，a，b4，满足进行循环的条件，
4、当n3时，a，b8，满足进行循环的条件，当n4时，a，b16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6.已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】设公比为,利用基本量法求解即可.【详解】设公比为,易知.由得,解得或当时,；当时,所以或,故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型.7.平面向量，共线的充要条件是（ ）A. B. ，两向量中至少有一个为零向量C. R， D. 存在不全为零的实数1，2， 【答案】D【解析】
5、【分析】根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.【详解】A：成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的；B：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的；C：只有当不是零向量时才成立，故本选项是错误的；D：当平面向量，共线时，存在一个，使得成立，因此存在不全为零的实数1，2，；当存在不全为零的实数1，2，成立时，若实数1，2不都为零时，则有成立，显然，共线，若其中实数1，2有一个为零时，不妨设，则有，所以平面向量，共线，所以本选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.8.根据党中央关于“精准”
6、脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.把函数f（x）sin2x的图象向右
7、平移个单位后，得到函数yg（x）的图象.则g（x）的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由偶函数的性质将化为： ，再由f（x）的
8、单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.【详解】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以，则为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：C.【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题.11.已知抛物线C：x28y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】设出的坐标，利用函数的导数，结合直线经过，转化求解的值【详解】设，由，可得，所以， 因为过点 作直线与抛物线分别切于点，且以为直径的圆过点，所以
9、，可得，直线的方程为： ， 同理直线的方程为：，可得，即.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力12.点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,则单调递减；当时,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考
10、查零点存在性定理的应用.太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科）第卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则_.【答案】8.【解析】【分析】依题意得f（）3，从而f（f（）f（3），由此能求出结果.【详解】解：函数则； f（3）3218.故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题.14.的内角的对边分别为.若的面积为，则_.【答案】（或）【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行
11、化简即可求解【详解】解：由余弦定理可得a2b2c22bccosA，ABC的面积为，又因为SABC，所以tanA，由A（0，）可得A故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题15.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使F1PF260，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为_.【答案】.【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设|PF2|=m，则|PF1|=2m，显然点 P在双曲线的右支上，因此有，因此，而，F1PF260，所以由余弦定理可知；，即，化简得：故答案为：【点睛】本题考查了
12、双曲线定义的应用，考查了求双曲线的离心率，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16.正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为，使得；直线与直线所成角的正切值的取值范围是；与平面所成锐二面角的正切值为；正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:利用等腰三角形的性质即可判断；直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,
13、进而求解；由平行的性质及图形判断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故正确；直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,；当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,正确；与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,所以正确；正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以正确故答案:【点睛】本题考查直线与平面的空
14、间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知an是公差为1的等差数列，数列bn满足.（1）求数列bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Sn.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由题设条件求得a1，再求an，进而论证数列nbn常数列，最后求得bn；（2）先由（1）求得cn，再由错位相减法求Sn.【详解】（1）由已知得：又an是公差为1的等差数列，ann.，数列nbn是常数列，（
15、2）由（1）得：又由可得：【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：年龄频数510101555了解4581221（1）填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计（2）若对年龄在，的被调研人中各随机
16、选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考公式和数据，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. （2）见解析【解析】【分析】(1)根据年龄的频数分布填写列联表，再计算分析即可.(2)易得X的所有可能取值为0，1，2，3，再分别分情况求解分布列，再计算数学期望即可.【详解】解：（1）22列联表：年龄低于65岁的人数年龄不低于6
17、5岁的人数合计了解32不了解18合计401050.所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，则X的分布列为X0123P所以X的数学期望是【点睛】本题主要考查了独立性检验、随机变量的分布列与数学期望的问题，需要注意在列分布列时X的取值对应的概率求解.属于中档题.19.如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，由线面
18、垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证. （2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，又为的角平分线，四边形为正方形，又，又为的中点，又平面，平面，又平面，平面平面，（2）在中，在中，又，又，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，令，得,设平面的一个法向量为，则，令，得，由图示可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾
19、股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.20.已知椭圆C：（ab0）的焦距为2，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意焦距的值可得c的值，再由椭圆过点，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d
20、的最小值.【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则，又椭圆过点，解得：a24，b23，所以椭圆的方程为：1；（2）设B，记线段MN中点D，因为O为BMN的重心，所以2，则点D的坐标为：，若n0，则|m|2，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为，即为1，若n0，此时直线MN的斜率存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2m，y1+y2n，又1，1，两式相减0，可得：kMN，故直线MN的方程为：y（x），即6mx+8ny+3m2+4n20，则点O到直线MN的距离d，将1，代入得d，因为0n23，所以dmin，又1，故原点O到直线MN的距离的最小值为.【点睛】本题
21、考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.21.已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2），详见解析【解析】【分析】（1）由已知令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与y2a的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；（2）由已知令，可得，记，利用导数得到的单调性，可得，当时，所以当即时有2个极值点，从而得到，所以，即【详解】解：（1），令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当
22、即时，无解，无极值点，当即时，有一解，即，恒成立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当即时，有一解，有一个极值点.综上所述：当，无极值点；时，有2个极值点；当，有1个极值点；（2），,令，则，,记，则,由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数,，当时，,当即时,有2个极值点,由,得,不妨设则，,又在上是减函数,.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-4：坐标系与参数方
23、程】22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为（1）求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（1），(为参数)；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程两边同乘，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线的直角坐标方程和直线的参数方程，得到关于的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，即曲线的直角坐标方程为：，直线的参数方程(为参数)，即(为参数).（2）设点，对应的参数分别为，将
24、直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理，得，所以，因为所以=， =4，所以=.【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当时，化为或或， 解得或或，.即不等式的解集为. （2）根据题意，得的取值范围是值域的子集.，又由于，的值域为 故，.即实数a的取值范围为【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.