1、考点规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案:D解析:是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m,n,n在平面内.Am,A,A是m和平面相交的点,m和n异面或相交,一定不平行.2.如图所示,平面平面=l,A,B,ABl=D,C,Cl,则平面ABC与平面的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC答案:C解析:由题意知,Dl,l,所以D.又因为DAB,所以D平面ABC.所以点D在平面ABC与平面的交线上.又因为C平面ABC,C,所以点C
2、也在平面与平面ABC的交线上.所以平面ABC平面=CD.3.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面答案:A解析:连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.4.给出下列命题,其中错误命题
3、的个数为()若直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;若直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.A.1B.2C.3D.4答案:C解析:对于,若直线a在平面内,这时直线和平面不平行,但是平面内有直线和a是平行的,故错误.对于,若直线a在平面内,这时直线和平面不垂直,但是平面内有直线和a是垂直的,故错误.对于,根据线面垂直的定义可知,是正确的.对于,a,c有可能是异面直线,故错误.综上所述,有3个命题是错误命题,故选C.5.(2020江苏连云港期末)如图,在正四棱柱ABCD
4、-A1B1C1D1中,AB=2BB1,P为B1C1的中点,则异面直线AC与BP所成的角为()A.90B.60C.45D.30答案:B解析:取A1B1中点Q,连接PQ,BQ,A1C1,P为B1C1的中点,PQA1C1AC,BPQ即为异面直线AC与BP所成的角或其补角.BPQ是等边三角形,BPQ=60,即异面直线AC与BP所成的角为60.6.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(1,3)答案:A解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于2.7.b是平面
5、外一条直线,下列条件可得出b的是()A.b与内一条直线不相交B.b与内两条直线不相交C.b与内无数条直线不相交D.b与内任意一条直线不相交答案:D解析:只有在b与内所有直线都不相交,即b与无公共点时,b.8.用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab;若ab,bc,则ac;若abc,则a,b,c共面.其中真命题的序号是.答案:解析:由平行线的传递性(公理4)知正确;举反例:在同一平面内,ab,bc,有ac;举反例:如图的长方体中,a,b,但a与b相交;垂直于同一平面的两直线互相平行,知正确;显然正确;由
6、三棱柱的三条侧棱知错.9.在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EFAB,求异面直线EF与CD所成角的度数.解：如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为ABD,ACD的中位线.由此可得,GFAB,且GF=12AB=1,GECD,且GE=12CD=2,FEG或其补角即为EF与CD所成的角.又EFAB,GFAB,EFGF.在RtEFG中,GF=1,GE=2,sinGEF=GFGE=12,可得GEF=30,EF与CD所成角的度数为30.能力提升10.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D
7、.一定垂直答案:D解析:两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.11.(2020四川凉山州模拟)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是()A.B.C.D.答案:A解析:当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得,当截面过正方体的体对角线时得,当截面平行于正方体的一个侧面时得,但无论如何都不能得到截面.故选A.12.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成角的余弦值为.答案:36解析:取DE的中点H,连接HF,GH.由题意知,HFAD
8、,且HF=12AD=22,GFH为异面直线AD与GF所成的角或其补角.在GHF中,HF=22,可求得GF=GH=26,cosGFH=HF2+GF2-GH22HFGF=(22)2+(26)2-(26)222226=36.故异面直线AD与GF所成角的余弦值为36.13.已知m,n,l为不同直线,为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是.(填上所有真命题的序号)ml,nlmn;m,nmn;m,n,mn;m,nmn;m与l异面,n与l异面m与n异面;m与l共面,n与l共面m与n共面.答案:解析:由平面的基本性质4知正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故错误;mmnmn,故为真
9、命题;nn或nmmn,故为真命题;如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故为假命题;如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故为假命题.(1)(2)14.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线.(2)EG与FH相交.答案：证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EFAC,HG
10、AC,因此EFHG.同理EHFG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与FH相交.高考预测15.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EFA1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.答案：(1)证明如图所示,连接B1D1,ABCD-A1B1C1D1为正方体,四边形A1B1C1D1为正方形.A1C1B1D1.BB1平面A1B1C1D1,A1C1BB1.B1D1BB1=B1,A1C1平面BB1D1D.EF平面BB1D1D,EFA1C1.(2)解取CC1的中点H,连接BH,EH.EHAB,四边形ABHE为平行四边形.AEBH.在平面BCC1B1中,过点F作FGBH,交CC1于点G,则FGAE,连接EG,则A,E,G,F四点共面.四边形BHGF为平行四边形,GH=BF=a3,C1G=CC1-CH-HG=16a.故当C1G=16a时,A,E,G,F四点共面.