1、考点规范练38空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.82.陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现.下图网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的体积为()A.403B.523C.443D.203.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1
2、A1的面积为()A.22B.1C.2D.34.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是32,则正视图中的x是()A.2B.4.5C.1.5D.35.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,ABC=90.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2B.4C.8D.166.某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积之比为()A.153B.163C.3011D.32117.(2021全国)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30,则该圆锥的侧面积为.8.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何
3、体的体积为,表面积为.9.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.10.(2021云南民族中学高三月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.11.已知边长为2的等边三角形ABC的三个顶点A,B,C都在以O为球心的球面上,若球O的表面积为1483,则三棱锥O-ABC的体积为.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为3、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表
4、面积S.能力提升13.刍薨,中国古代算术中的一种几何形体,九章算术中记载“刍薨者,下有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”.一刍薨的三视图如图所示,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,若用茅草搭建它,则覆盖的面积至少为()A.65B.75C.85D.9514.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.54315.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1
5、B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为
6、()(单位:cm3)A.16+85B.32+45C.16+853D.32+453答案：1.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.2.B解析由三视图知该几何体是上部为圆锥、中部为圆柱、下部为圆锥的简单组合体,其中,上部圆锥的底面半径为2、高为2,中部圆柱的底面半径为2、高为1,下部的圆锥的底面半径为4、高为2,所以该陀螺模型的体积为13222+22
7、1+13422=523.3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为ABC所在圆面的直径,所以BAC=90,ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理,A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在RtOMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以x22+x22=1,即x=2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=21=2.4.C解析由三视图可知,几何体为四棱锥,其底面为直角梯形,面积S=12(1+2)2=3.由该几何体的体积V=133x=32,解得x=1.5.故选C.5.D解析由题意,知SABC=3,设ABC所在球的
8、小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,则这个球的表面积为S=422=16.故选D.6.C解析由三视图还原原几何体如图,设小正方形的边长为1,可知该几何体的表面积为S1=1156=30,其外接球的半径为R满足2R=1+1+9=11,所以该几何体外接球的表面积为S2=41122=11.因此该几何体与其外接球的表面积之比为3011.7.39解析设圆锥的高为h,母线长为l,则1362h=30,解得h=52,则l=62
9、+h2=132,故圆锥的侧面积为6132=39.8.412+26解析由三视图,可得棱长为2的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是1223=4.四边形AJGI为菱形,所以该几何体的表面积S=322+12IJAG=12+122223=12+26.9.12解析由题意,三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为23,所以球O的直径是23,半径为3,球O的表面积为4(3)2=12.1
10、0.61解析圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上.如图所示,设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O,则圆台的高OO=OQ2-OQ2=52-42=3,据此可得圆台的体积V=133(52+54+42)=61.11.333解析设球的半径为R,则4R2=1483,解得R2=373.设ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r,则r=23322=233.故球心到ABC所在平面的距离为d=R2-r2=373-43=11,即为三棱锥O-ABC的高,所以VO-ABC=13SABCd=13342211=333.12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为3,所
11、以V=113=3.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2(11+13+12)=6+23.13.C解析由题意,得茅草覆盖面积即为几何体的侧面积.由题意可知,该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底长为2,下底长为4,高为22+12=5;等腰三角形的底边长为2,高为22+12=5.故侧面积为S=212(2+4)5+21225=85.即需要茅草覆盖的面积至少为85,故选C.14.B解析点O为球心,O1为ABC的中心.由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长
12、为a,则12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223a=234.设球的半径为R,如图,OO1=R2-r2=42-(23)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=13SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选B.15.118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即9779也正确.17.C解析根据几何体的三视图知该几何体是一简单组合体,由一个底面半径为2、高为4的圆柱体和一个底面边长为22、高为5的正四棱锥体组成,其直观图如图所示.所以该几何体的体积V=224+1322225=16+853.