1、第二节导数的应用(1)一、填空题1. 函数y4x2的单调递增区间为_2. (2011江苏扬州中学期中)函数f(x)xln x的单调减区间为_3. 设函数yf(x)在定义域内可导，导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是_(填序号)4. 函数f(x)x3ax2bx4在x2处有极值12，则a，b的值_5. (2011杭州学军中学月考)若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_6. 函数f(x)x3px22m2m1在区间(2,0)内单调递减，且在区间(，2)及(0，)内单调递增，则实数p的取值集合是_7. 如果函数yf(x)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：
2、函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值上述判断中正确的是_8. (2011江苏海安高中、南京外国语、南京金陵中学联考)函数yf(x)g(x)在求导时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x)，两边求导数g(x)ln f(x)g(x)，于是yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x)；运用此方法可以探求得知yx(x0)的增区间为_9. 已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值，若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，则
3、c的取值范围是_二、解答题10. 已知函数f(x)x3ax23x.若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围11. (2010江苏南师大附中三、四月高三模拟)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求证：函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点12. (2010江苏南师大附中五月高三模拟)设函数f(x)x4ax32x2b，a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，试求a的取值范围13. (2011江苏启东中学高三期中)已知函数f(x)(x2ax)ex(aR)(1)证明：函数f(x)总有
4、两个极值点x1，x2，且|x1x2|2；(2)设函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围参考答案1. 解析：令y8x0，解得x.2. (0,1解析：令f(x)10，解得0x1.3. 解析：在点M左侧，f(x)0，f(x)为减函数，而在点M右侧，f(x)0，f(x)为增函数，所以在y轴左侧，yf(x)为先减后增的函数；同理，也可判断出yf(x)在y轴右侧也是先减后增的函数4. 不存在解析：f(x)3x22axb，由题意即解得当a6，b12时，f (x)0恒成立，故应舍去5. 2，)解析：h(x)2，由h(x)在(1，)上是增函数，知h(x)0在(1，)上恒成立h(x)，当k0时，显然h
5、(x)0成立当k0时，由h(x)0k2x2，而2x22，即k2，k2，故2k0.综上，k2.6. 3解析：由已知条件可知，f(x)在x0和x2处分别取得极小值和极大值f(x)3x22pxx(3x2p)，3(2)2p0，p3，p的取值集合是37. 解析：由导数图象可知，当x(4,5)时，f(x)0，故当x(4,5)时，f(x)为单调增函数，故正确8. (0，e解析：由以上法则可知yxxx(1ln x)，当x0时，x0，由1ln x0，可得0xe.即函数yx(x0)的增区间为(0，e9. (，1)(2，)解析：f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由fab0，f(1)32ab0得a，b
6、2，所以f(x)x3x22xc，x1,2，f(x)3x2x2(3x2)(x1)，函数f(x)的单调区间如表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当x时，fc为极大值，f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)c2在x1,2上恒成立，则只需要c2f(2)2c，解得c1或c2.10. f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函数，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，则必有，令g(x)，g(x)0恒成立，g(x)为增函数，当x1时，g(x)取最小值0，0，即a0.11. (1)f(x)ex4x3，则f(1)e1，又f(1)e1，曲
7、线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye1(e1)(x1)，即(e1)xy20.(2)证明：f(0)e0320，f(1)e10，f(0)f(1)0，令h(x)f(x)ex4x3，则h(x)ex40，f(x)在0,1上单调递增，f(x)在0,1上存在唯一零点，f(x)在0,1上存在唯一的极值点12. (1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)，令f(x)0，得x10，x2，x32，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)(，2)2(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在和(2，)上是增函数，在区间(，0)和上是减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根f(x)仅在x0处有极值，方程4x23ax40有两个相等的实根或无实根，9a24160，解得a，这时，f(0)b是唯一极值，因此满足条件的a的取值范围是.13. (1)证明：f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，令f(x)0，得x1，x2，当x(，x1)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，当x(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在xx1处取得极小值，在xx2处取得极大值，又|x1x2|，所以|x1x2|2.