1、第七节幂函数1.了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况1幂函数的定义形如(R)的函数称为幂函数，其中x是，为2幂函数的图象yx自变量常数3幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时增x(，0时减增增x(0，)时减x(，0)时减定点(0,0)，(1,1)(1,1)函数性质特征1下列说法正确的是()A幂函数一定是奇函数或偶函数B任意两个幂函数图象都有两个以上交点C如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同D图象不经过(1,1)的幂函数一定不是
2、偶函数解析：举反例：yx不具有奇偶性，排除A；yx1和yx2图象的交点只有(1,1)，排除B；yx3与y图象的交点为(1，1)，(0,0)，(1,1)，排除C.答案：D2已知点(33，3 3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式为()Af(x)x3 Bf(x)x3Cf(x)x12Df(x)x12解析：设 f(x)x，则 3 3(33)，即 33232.3.f(x)x3.答案：B3右图中曲线是幂函数 yxn 在第一象限的图象已知 n 取2，12四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 n 值依次为()A2，12，12，2B2，12，12，2C12，2,2，12D2，12，2，
3、12解法一：由幂函数的图象与性质，nC2C3C4，故 C1，C2，C3，C4 的 n 值依次为 2，12，12，2.解法二：作直线 x2 分别交 C1，C2，C3，C4于点 A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为 22,212，212，22，故 n 值分别为 2，12，12，2.答案：B4在同一平面直角坐标系内，函数 yx(0)和 yx1的图象应是()解析：先由一个图象的位置特征确定的大小，再由此值判断另一图象位置特征是否合适，可判定选B.答案：B5幂函数 y(m22m2)xm2，当 x(0，)时为减函数，则实数 m 的值为()Am3 Bm1Cm1 Dm1 52解析：由定义可知m22
4、m21，m20时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立例2 如下图是幂函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1课堂记录 利用幂函数的性质及图象间的关系来判定此类题目有一简捷解决办法，在(0,1)内取一值x0，作直线xx0，与各图象均有交点，则“点低指数大”如上图有0m1，nC2C3C4BC2C1C4C3CC1C2C4C3DC1C4C30，C20，且C11，而0C21，C30，C40，且C32.5，求 的取值范围；(2)若 232，求 的取值范围；(3)若(m1)132.40，且 f(2.5)
5、f(2.4)所以 yx在(0，)上是减函数，因此应有 32，得 12 132，所以 0232，由于幂函数 yx2是偶函数，且在(0，)上是增函数在(，0)上是减函数，又|232，0|3，解得33 且 0.因此 的取值范围是30 或 03.(3)由于(m1)130，12m0，m112m，或m10，12m12m，或m10.解得 m 的取值范围是 0m12或 m1，02.42.51，0.即时训练 已知幂函数(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，求函数f(x)的解析式解：f(x)为(0，)上的减函数，m22m30，1m3.又mZ，m0,1,2.当 m0 时，f(x)x3 不是偶函数，故不合题意
6、当 m1 时，f(x)x4 是偶函数，符合题意当 m2 时，f(x)x3 不是偶函数，不合题意故 f(x)x4为所求本部分在高考中往往以基础知识为主，考查幂函数的定义、图象和性质，有时与函数基本性质、二次函数、方程、不等式结合，多以小题形式出现，属容易题学习中主要掌握五种常用幂函数即可例4 对于函数yx，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如右图所示)设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有BMMNNA.那么_.分析 M，N两点在两个幂函数yx，yx的图象上，关键是求出两点的坐标，使问题得解解析 因为 M，N
7、为 AB 的三等分点，所以 M(13，23)，N(23，13)，则23(13)，13(23)，故填 1.答案 1解析：yx1的定义域为(，0)(0，)，x1不合题意，排除B、C、D，故选A.答案：A1(2007山东高考)设 1，1，12，3，则使函数 yx的定义域为 R 且为奇函数的所有 值为()A1,3 B1,1C1,3 D1,1,32(2008山东高考)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中的真命题只有一个答案：C
