1、鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 1页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 2页鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2023 年五月模拟考高三数学参考答案选择题题号123456789101112答案CBDCADABADABDABDACD填空题1316147715(0,1)16 1；4小题详解1C【解析】2|230|13Ax xxxx ，|ln(1)|1Bx yxx x，|1U Ax x或3x，|1UxBx，UAB，U AB，ABU，()U ABU，故选 C2B【解析】已知 2i(i是虚数单位）是关于 x
2、 的方程20(,)xbxcb cR 的一个根，则2(2i)(2i)0bc，即 44i12i+0bbc，即 32040bcb，解得45bc ，故1bc，故选 B3D【解析】|2a，|1b，且|2|10ab，222|2|4410abaa bb，即 44410a b，12a b ，b在 a 方向上的投影向量为21|cos,|8|aa baa bba bbaaaa baa ，故选 D4C【解析】函数()sin(2)f xx的图象向左平移 3 个单位，得2()sin(2)3g xx的图象，又函数()g x 是偶函数，232k，(k Z),6k，k Z；3tant6an()3k，故选 C5A【解析】在AM
3、B中，由勾股定理可得：22228006001000ABAMBM米，连接 PO，则在APO中，sin 42670POAP 米，连接 OB，OC，OM，则在OBM中，60060sin67067BMBOMBO，故1.1BOM，2.2BOC，则 彩 虹（BPC）的 长 度 约 为(22.2)67013401474，故选 A6D【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件 A，“两名女生不在同一岗位”为事件 B，则2423122254512265424 5 62()6 5 63C C C C CP AC C C C ，2312211254223512265424()815424()6 5 6C C C C
4、CC CP ABC C C C，()84(|)=()15532P ABP B AP A，故选 D法二：3122122254235423312212225412211142225442()5()()(|)=()24430()C C CC CCC CP ABn ABP B AP ACC CC CC CCnCCACC7A【解析】由题意可得2()260g xxaxa有解，所以28(6)0aa，解得4a或12a，当12a 时，必有14(1)260agaa，解得12a；当4a时，必有14(1)280aga，不等式组无解，综上所述，12a，a的取值范围为12+，故选 A8B【解析】设此正三棱锥框架为 PAB
5、C，球1O 的半径为 R，球2O 的半径为 r，底面 ABC 外接圆的圆心为 O，连接 PO，AO，延长 AO 交 BC 于点 N 圆气球2O 在此框架内且与正三棱锥所有的棱都相切，设球2O 与棱 PA 和 BC 相切于点 M，N，则32 323AO，32 3212ON，PO 底面 ABC，POAO，又2 2PA，842PO，在直角三角形2OO N 中，221OOr，12 2r，在直角三角形2PMO 中，2PMMOr，22POr，由22POPOOO，可得2221rr，解得2 23r，则球2O 的表面积为2244(2 23)(4416 6)r，又2OAOBOCOP，则 O 与1O 重合，球1O
6、的半径2R，球1O 的表面积为鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 3页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 4页2244216R，综上可得：两球表面积之和为(44 16 6)16(60 16 6)，故选 B9AD【解析】对于 A 选项，平面 EFG 截正方体1111ABCDA B C D的截面图形为正六边形 EFGHIJ，其中,H I J 分别为11C D，11AD，1AA 的中点，11AC/HI，HI 平面 EFGHIJ，11AC 平面 EFGHIJ，11A C/平面 EFGHIJ，故 A 正确；对于 B
7、选项，过 P 作 PMAD交 AD 于点 M，则直线 CP 和平面 ABCD 所成的角为PCM，tanPMPCMCM，设 PMx，正方体的棱长为 1，则221tan111PMxPCMCMxx，（01x ），2tan0,2PCM，直线 CP 和平面 ABCD 所成的角不为定值，故 B 错误；对于 C 选项，1BC 平面11A BCD，1BC/FG，FG 平面11A BCD，又 CP 平面11A BCD，CPFG，故 C 错误；对 于 D 选 项，设 IJ 1A DM，FG 1B CN，则 平 面11A BCD 平 面EFGHIJ MN，/CP平面 EFG，CP 平面11A BCD，/CPMN，又
8、在平面11A BCD 内，易知1114A MA D，114CNCB，点 P 为线段1A D 的中点，故 D 正确，故选 AD10ABD【解析】对于 A 选项，由题意知，,a b 是函数1()111xh xxx 分别与函数()2xf x，2()logg xx图象交点的横坐标，()f x，()g x 两个函数的图象关于直线 yx对称，()h x 的图象也关于 yx对称，故两交点(,2)aa，2(,log)bb 关于直线 yx对称，所以2logab，2ab，故 A正确；对于 B 选项，由21aaba可得 abab即 111ab，故 B 正确；对于 D 选项，11()()24baabab abab，故
9、 D 正确；对于 C 选项，2log(24)abbbb，令2()logbbb，则1()10ln 2bb，2()logbbb在(2,4)上单调递减，则2()log 442b ，故 C 错误，故选 ABD11ABD【解析】对于 A 选项，由已知可得1,2ab，C 的渐近线方程为2yx，故 A 正确；对于 B 选项，由题意得，AM 的直线方程为：0014y yx x ，AM为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM 平分12F AF，故 B 正确；对于 C 选项，延长1F H，与2AF 的延长线交于点 E，则 AH 垂直平分1F E，即点 H 为1F E 的中点又O是12F F 的中点，22112
10、2OHF EAEAF12112 AFAFa，故 C 错误；对于 D 选项，121 21 2AF NFAF FNF FSSSVV1200142F Fyy00142 524 52yy，当且仅当004yy，即02y 时，等号成立四边形12AF NF 面积的最小值为 4 5，故 D 正确，故选 ABD12ACD【解析】对于 A 选项，2222()sin()cos()cossin()222nnnnnnfxxxxxfx，故 A 正确；对于 B 选项，当1n 时，1()1f x 当1n 时，设2sin xt，则2cos1xt，令()(1),0,1nnh tttt，1111()(1)(1)nnnnh tntn
11、tn tt，102t 时，011tt ，11(1)nntt，()0h t，112t 时，()0h t，min111()()22nh th，即112nna，1231171244aaa，故 B 错误；对于 C 选项，由 ln(1)xx得 ln(1)iiaa，1111112ln(1)221212nnniiniiaa，故 C 正确；对于 D 选项，11121112nnnnnnnn ，212nnn，1121222nnnnn，12112222nnnnnn，又12nnnb，1 12 111 21 102111223341222 22222222222nnnnnnnnnS鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模
12、拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 5页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 6页2142 22 2422nnbn，即有*22 24()nnSbnN，故 D 正确，故选 ACD1316【解析】2(,)N，(14)(180.10.91PP），(14)1(18(18)PPP），14+18=1621477【解析】根据题意，圆22:430C xyx即22(2)1xy，若ABC为直角三角形，则有2|2|221kk，解得：77k 15(0,1)【解析】记()ln(01)g xxx，()ln(1)h xx x，由函数()f x 图象可知，不妨设 1 l 与()
13、g x 相切于点11(,ln)A xx，2 l 与()lnh xx相切于点22(,ln)B xx，则1201,1xx 1()g xx，1()h xx，111lkx，221lkx，12ll，12111xx ，即121x x，1 l 的方程为：1111ln()yxxxx，2 l 的方程为：2221ln()yxxxx，联立方程组可求得点 Q 的横坐标122Qxxx，121x x，121222xxx x，01Qx，即 Q 点横坐标的取值范围是(0,1)161；4【解析】设(,)N x y，1(A x，1)y，2(B x，2)y，14OAOBkk，121214yyxx，121240 x xy y，ONO
14、AOB，1122(,)(,)(,)x yx yxy，1212xxxyyy，(,)N x y在椭圆上，221212()4()4xxyy即22222211221212(4)(4)2(4)4xyxyx xy y又221144xy，222244xy，代入得221=3ONOAOBOMOB，由,M N B 三点共线，得+=13，34=55，1455ONOMOB，14=55MNNB，|=4|MNBN解答题17（10 分）【答案】（1）32；（2）32【解析】（1）在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC，271BCBC，解得2BC，11sin1 2222323ABCSABBCABC
15、5 分（2）设CAD，在ACD中，由正弦定理得 sinsinACCDADCCAD，2 3sinsin 3AC，6 分在 ABC中，2BAC，6BCA，则 sinsinACABABCBCA，即12sinsin(6)3AC，8 分由得：sin()sin,2 36312 3(sincos)sin22，整理得 2sin3 cos，3tan2CAD10 分18（12 分）【答案】（1）nan；（2）证明见解析【解析】（1）222nnnaanS，当2n 时，21112(1)2nnnaanS，两式相减得：22112212nnnnnaaaaa，整理得221(1)nnaa，4 分0na，11nnaa (2n)，
16、当1n 时，2111212aaa，11a （舍）或11a ，5 分 na是以1为首项，1 为公差的等差数列，则nan；6 分（2）由（1）知，31nnb ，113111()(31)(31)2 3131nnnnnnc 8 分12212311111111()2 313131313131nnnccc111 1111()2 23142(31)nn，鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 7页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 8页1102(31)n，111142(31)4n，即1214nccc 12 分19（12 分）
17、【答案】（1）证明见解析；（2）2 3417【解析】（1）证明：1AC 平面11BB C C，11B C 平面11BB C C，111ACB C；又2ABC，1112A B C，即1111B CB A，2 分111ACB C，1111B CB A，1111ACB AA，111,AC B A 平面11ABC，11B C 平面11ABC，4 分又11B C 平面111A B C，平面11A B C 平面111A B C；5 分（2）1AC 平面11BB C C，1B C 平面11BB C C，11ACB C；又11B C 平面11ABC，11B C/BC，BC 平面11ABC，1B C 平面11A
18、 B C，1BCB C,11ACB C，1BCB C，1ACBCC，1,AC BC 平面1A BC，1B C 平面1A BC，6 分法一：（坐标法）分别以 CB为 x 轴，1CB为 y 轴，1CA为 z 轴建立如图所示平面直角坐标系，则1(0,0,2)A，(,0,0)4 2B，(0,0,0)C，1(0,2,0)B，1(,0,2)4 2A B，1(,2,0)4 2B B，7 分设平面1AA B 的法向量1(,)nx y z，1B B 平面1AA B，则111100nA BnB B ，即 4 204 2220 xzxy，取1(2,4,4)n，9 分取平面1CA B 的一个法向量2(0,1,0)n，
19、10 分则1244 342 34cos,341734 1n n，故平面1AA B 与平面1CAB 夹角的余弦值为 2 3417 12 分法二：（几何法）在平面1A BC 内，过点 C 作 CH 1A B 交1A B 于点 H，连 接1B H，则1A B 平 面1B CH，1 CB H为 二 面 角11BACB的平面角，即为平面1AA B 与平面1CAB 的夹角8 分11=AC B C，1111=2 2AB CB，=4 2AB BC，11=2AC B C，又在直角三角形1A BC 中，22114326ABCBCA=，112 4 24 263BAC BCCHA，则在直角三角形1B CH 中，114
20、t23 24 23anCBHBHCC，故174c2 3413os4HCB，平面1AA B 与平面1CAB 夹角的余弦值为 2 341712 分20（12 分）【答案】（1）925；（2）36k【解析】（1）设事件 A：“顾客甲第一次抽中”，事件 B：“顾客甲第二次抽中”，A 与 B 是相互独立事件，所以 A 与 B 相互独立，由于19992010099!20119!80!()()100!100520!80!CP AP BC，故14()()155P AP B，甲被抽中的概率251()5492P ；4 分（2）“由系统独立、随机地从这 100 名顾客中抽取 20 名顾客，抽取两次”所包含的基本事件
21、总数鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 9页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 10页为220100()C，当 Xk时，两次都中奖的人数为 40k，只在第一次中奖的顾客人数为20k，只在第二次中奖的顾客人数也为20k，由乘法原理知：事件Xk所包含的基本事件数为02020204020201002081002080kkkkC CCC CC，20402010020802080202010002020012()()kkkkCCCCCP XkCC，2040k，6 分由()(1)()(1)P XkP XkP XkP X
22、k可得：22019208020802021202201908008021kkkkkkkkCCCCCCCC，8 分整理得：20!80!20!80!(20)!(40)!(20)!(100)!(19)!(39)!(19)!(99)!20!80!20!80!(20)!(40)!(20)!(100)!(21)!(41)!(21)!(101)!kkkkkkkkkkkkkkkk，化简得：21(40)(100)(19)(19)(0)(20)(41)(101)111kkkkkkkk，则有(19)(19)(40)(100)(41)(101)(20)(20)kkkkkkkk，整理得10236391023741kk，
23、解得 121334341247k，即233536343423k，11 分 k 为整数，36k，()P Xk取到最大值时，36k 12 分21（12 分）【答案】（1）24xy；（2）（i）证明见解析；（ii）1【解析】（1）设圆心(,)D x y，由题意得：22(1)1xyy，化简整理得：24xy，曲线 C 的方程为：24xy4 分（2）（i）证明：设1122(,),(,),A x yB xy24xy，2xy，直线 PA 的方程为：111=2xyxxy，即21111=24yx xx，同理可得直线 PB 的方程为：22211=24yx xx，1212,0,0,1222xxxxMNP，6 分又(0
24、,1)F，1212,1,1,2222xxxxFMFNFP，四边形 FNPM 为平行四边形；8 分（ii）P在直线 PAPB，上，设0(,1)P x，由(i)得：1012022(1)2(1)x xyx xy ，直线 AB 的方程为：0220 x xy，直线 AB 过点(0,1)F，四边形 FNPM 为平行四边形，FM BP，FN AP，AMFMPNBNF ，FNPM，PNMF，BNBFMPNPFAMA，MP NPMA BN，10 分11|sin2SMA MFAMF，21|sin2SPMPNMPN，31|sin2SNBNFBNF，22213(|)|1.|SPMPNPMPNS SMAMFNBNFMA
25、NB12 分22（12 分）【答案】(1)0ea ；(2)0ea 时，关于 x 的方程()()h f xh g x在(0,)上有唯一解【解析】（1）由题意，211e122xxxax，即211e22xxxax，令211e22()xxxxx，211(1)(e)22()xxxxx，2 分由 e1x x 知11e022xx，故当 01x 时，()0 x，()x单调递减，1x 时，()0 x，()x单调递增，所以()(1)ex，所以 0ea 4 分（2）ln()xh xx，易求得()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减；当ea 时，211()e22g xxx，且由（1）知()()f xg
26、 x，()e0g xx，()e10 xfx，即()f x，()g x 均单调递增；此时(1)(1)efg，有(1)(1)h fh g1 当(0,1)x时，()()(1)eg xf xf，()h x 在(0,e)上单调递增，所以()()h f xh g x；鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 11页鄂东南教改联盟学校 2023 年五月模拟考 高三数学参考答案（共 12 页）第 12页2 当(1,)x 时，()()(1)ef xg xg，()h x 在(e,)上单调递减，所以()()h f xh g x；所以ea 时，方程有唯一解 7 分当 0ea时，由
27、（1）知()()f xg x，令()ef x 得1x，令()eg x 得22011e2e1122xaxxaa ，1 当0,1x时，()()(1)eg xf xf，则()()h f xh g x；8 分2 当0(1,)xx时，()e()f xg x，由复合函数单调性可知()h f x单调递减，()h g x单调递增，令()()()m xh g xh f x，则()m x 单调递增，又(1)(1)(1)()(e)0mh gh fh ah，0000()()()(e)()0m xh g xh f xhh f x，所以存在唯一的0(1,)xx，满足()()h f xh g x；10 分3 当0,xx 时
28、，0()()()ef xg xg x，则()()h f xh g x；所以 0ea时，方程有唯一解11 分综合可得：当 0ea 时，关于 x 的方程()()h f xh g x在(0,)上有唯一解12 分题号题型分值考点（知识点）能力点难易度试题来源1单选5集合的运算、集合的关系数学运算易自创2单选5复数的概念与运算数学运算易改编（学科网）3单选5平面向量的数量积、投影向量数学运算易自创4单选5三角函数的图象与性质数学运算易改编（学科网）5单选5空间几何体的结构直观想象易改编（学科网）6单选5条件概率、计数原理数学建模中自创7单选5分段函数的零点数学运算中改编（学科网）8单选5球与几何体的切接
29、直观想象中改编（学科网）9多选5立体几何综合直观想象易自创10多选5函数与方程、导数与不等式数学抽象数学运算中改编（学科网）11多选5双曲线的几何性质数学运算中改编（学科网）12多选5导数与三角函数、导数与数列逻辑推理数学运算难改编（学科网）13填空5正态分布数学运算易自创14填空5直线与圆的位置关系数学运算易改编（学科网）15填空5导数的几何意义数学运算中改编（学科网）16填空5直线与椭圆的位置关系、向量共线逻辑推理数据处理难自创17解答10解三角形、三角恒等变换数学运算易改编（学科网）18解答12数列递推式、数列求和数学运算易自创19解答12立体几何与空间向量直观想象中改编（学科网）20解答12概率的性质、古典概型、计数原理数学建模数据处理难自创21解答12直线与抛物线综合数学运算中自创22解答12导数与恒成立问题、导数与复合方程的根逻辑推理数学运算难自创
