1、第十三节定积分及其应用1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义一、定积分的性质1.abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数)；2.abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx；3.abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 acb)二、定积分的几何意义1当函数 f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分abf(x)dx 的几何意义是由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积(图 1 中阴影部分)2一般情况下，定积分abf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 xa
2、、xb 之间的曲边梯形面积的代数和(图 2 中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数三、微积分基本定理一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)那么abf(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数为了方便，我们常把 F(b)F(a)记作 F(x)|ab，即abf(x)dxF(x)|abF(b)F(a)思考感悟：一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都
3、相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算A0 B.4C2 D4答案：C2用 S 表示右图中阴影部分的面积，则 S 的值是()A.acf(x)dxB.acf(x)dxC.abf(x)dxbcf(x)dxD.bcf(x)dxabf(x)dx解析：由定积分的几何意义知：在 x 轴上方的阴影部分的面积为bcf(x)dx，则在 x 轴下方的阴影部分，由于 f(x)0，故abf(x)dx0，所以其面积应为：abf(x)dx.因此，总面积为bcf(x)dxabf(x)dx.答案：D3已知自由下落物体的速度为 v(t)gt，则
4、物体从 t0 到 tt0 所走过的路程为()A.13gt02Bgt02C.12gt02D.14gt02答案：C4如果01f(x)dx1，02f(x)dx1，则12f(x)dx_.解析：01f(x)dx12f(x)dx02f(x)dx，12f(x)dx02f(x)dx01f(x)dx112.答案：25曲线 ycosx(0 x32)与两坐标轴所围成图形的面积为_答案：3 热点之一 利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握常见函数的导数及导数的运算法则此外，如果被积函数是含绝对值的函数或分段函数
5、，那么就利用定积分的性质abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分成若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可例 1 求下列函数的定积分(1)12(x22x1)dx；(2)0(sinxcosx)dx；(3)131xdx.思路探究 由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用微积分的基本定理求解课堂记录(1)12(x22x1)dx12x2dx122xdx121dxx33|12x2|12x|12193.(2)0(sinxcosx)dx0sinxdx0cosxdx(cosx)|0sinx|02.(3)取 F(x)lnx，则 F(x)1x，从而13
6、1xdxF(3)F(1)ln3.即时训练 原函数为偶函数，在y轴两侧的图象对称对应的面积相等.8216，故选D.答案：(1)C(2)D 热点之二 定积分的几何意义及应用 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤,(1)画出图形；(2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分的上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积例2 如右图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值思路探究 先求yxx2与x轴所围图形的面积，再求yxx2与ykx所
7、围图形的面积，由后者是前者的一半，列等式求出k值课堂记录 由题意知抛物线 yxx2与 x 轴两交点的横坐标分别是 x10，x21，所以抛物线与 x 轴所围图形的面积是：,S01(xx2)dxx22x33|01121316，抛物线 yxx2 与 ykx 两交点的横坐标分别为 x10，x21k，即时训练 计算定积分02|1(x1)2x|dx.解：02|1(x1)2x|dx 表示圆(x1)2y21(y0)与直线 yx，直线 x0，直线 x2 所围成的图形(如右图所示)的面积，因此02|1(x1)2x|dx(1241211)(122 1124)1.热点之三 定积分在物理中的应用1变速直线运动问题如果作
8、变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为abv(t)dt；如果作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为abv(t)dt.2变力做功问题物体在变力 F(x)的作用下，沿与力 F(x)相同方向从 xa 到 xb 所作的功为abF(x)dx.例3 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路探究 加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程课堂记录 因列车
9、停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程已知列车速度 v072 km/h20 m/s，列车制动时获得的加速度为 a0.4 m/s2，设列车开始制动到经过 t 秒后的速度为 v，则 vv00tadt200t0.4dt200.4t，令 v0，得 t50(s)设该列车由开始制动到停止时所走的路程是 s，则 s050vdt050(200.4t)dt500(m)，所以列车应在进站前 50 s，以及离车站 500 m 处开始制动即时训练 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，求变力F(x)
10、对质点M所做的功解：变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为W110F(x)dx110(x21)dx(13x3x)|110342.高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基本定理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯形的面积.2010年新课标卷考查了定积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方向例4(2010新课标全国卷)设yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有 0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间0,1上的均匀随机数 x1，x2，xN和
11、y1，y2，yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足 yif(xi)(i1,2，N)的点数 N1，那么由随机模拟方法可得积分01f(x)dx 的近似值为_解析 由均匀随机数产生的原理知：在区间0,1满足 yif(xi)的点都落在了函数 yf(x)的下方，又因为 0f(x)1，所以由 0 x10y1，yf(x)围成图形的面积是N1N，由积分的几何意义知01f(x)dxN1N.故填N1N.答案 N1N1(2010山东高考)由曲线 yx2，yx3 围成的封闭图形面积为()A.112 B.14C.13D.712解析：S01(x2x3)dx(13x314x4)|01 112.答案：A2(2010湖南高考)241xdx 等于()A2ln2 B2ln2Cln2 Dln2解析：241xdxlnx|24ln2.答案：D3(2009广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面解析：由图知甲车在(0，t1)段的曲边梯形的面积大于乙车在(0，t1)段的曲边梯形的面积，面积表示路程，因此甲车在乙车的前面答案：A