1、第三节 二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(1)二项式定理的内容为(ab)n展开式的第r1项(通项)Tr1，其中Cnr(r0,1,2，n)叫做二项式系数Cn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn(nN*)Cnranrbr(2)对于通项，要注意以下几点：它表示二项展开式中的，只要确定，该项也随即被确定；公式表示的是第项，而不是第项；公式中的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第r1项r1ra，br2二项式系数的性质(1)二项式系数的对称性：，即Cn0Cnn，Cn1Cnn1，CnrCnnr.距首末两端等距离的两
2、项的二项式系数相等(2)增减性与最大值：二项式系数 Cnk，当 kn12 时，二项式系数是递增的递减的当n是偶数时，取得最大值当n是奇数时，(3)展开式系数总和：Cn0Cn1Cn2Cnn其中奇数项系数的和等于偶数项系数的和，即Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn5中间一项中间两项相等且取得最大值2n2n1.1要使C27m有最大值，则m的值是()A14 B13C13或14D15解析：由二项式系数的性质可知应选C.答案：C2在(x 2)n 的展开式中，第三项的系数是 6，则展开式的第二项是()A3 2x2B4 2x2C6xD8 2x解析：因为 T3Cn2xn2(2)2所以 Cn2(2)26，n3.因
3、此，展开式中的第二项为：T2C31x2(2)13 2x2.故选 A.答案：A 3若(x1x)n 展开的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为()A10 B20C30 D120解析：二项式系数之和 2n64，则 n6，Tk1C6kx6k1xkC6kx62k，当 62k0 时，即 k3 时为常数项，T31C6320.答案：B4设A37C7235C7433C763，BC7136C7334C75321，则AB_.解析：AB(31)727128.答案：1285已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a3a7_.解析：令x1，则a0a1a2a71，又令x0，则得a01，所以a1a2a3
4、a7112.答案：2热点之一 求展开式中的特定项 通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且rn.思路探究 写出通项公式，根据指定项的特点确定r的取值例 1 已知在(3 x 123 x)n 的展开式中，第 6 项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2 项的系数；(3)求展开式中所有的有理项课堂记录(1)通项公式为 Tr1Cnrxnr3(12)rxr3Cnr(12)rxn2r3，因为第 6 项为常数项，所以 r5 时，有n2r3
5、0，即 n10.(2)令n2r32，得 r12(n6)2，所求的系数为 C102(12)2454.(3)根据通项公式，由题意得102r3Z0r10rZ令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r532k，rZ，k 应为偶数k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为C102(12)2x2，C105(12)5，C108(12)8x2.思维拓展 解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n，r均为非负整数，nr)；第二步是根据所求的指数，再求所
6、求解的项答案：7即时训练在(1x)3(1 x)3(13 x)3 展开式中，x 的系数为_(用数字作答)解析：由条件易知(1x)3，(1 x)3，(13 x)3 的展开式中 x 项的系数分别是 C31，C32，C33，即所求系数是 3317.故填 7.热点之二 求展开式中系数最大项1求二项式系数最大的项：如果 n 是偶数，则中间一项第(n21)项的二项式系数最大；如果 n 是奇数，则中间两项第n12 项与第(n12 1)项的二项式系数相等且最大；2求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 r 项
7、系数最大，应用ArAr1ArAr1解出 r 来，即得系数最大的项例 2 已知(x2x2)n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 x32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项思路探究(1)可利用“赋值法”求各项系数的和；(2)可利用展开式中的通项公式确定r的值；(3)可利用通项公式求出r的范围，再确定项课堂记录 由题意知，第五项系数为 Cn4(2)4，第三项的系数为Cn2(2)2，则有Cn424Cn222101，化简得 n25n240，解得 n8 或 n3(舍去)(1)令 x1 得各项系数的和为(12)81.(2)通
8、项公式 Tr1C8r(x)8r(2x2)rC8r(2)rx8r2 2r，令8r2 2r32，则 r1，故展开式中含 x32的项为 T216x32.(3)设展开式中的第 r 项，第 r1 项，第 r2 项的系数绝对值分别为 C8r12r1，C8r2r，C8r12r1，若第 r1 项的系数绝对值最大，则C8r12r1C8r2rC8r12r1C8r2r，解得 5r6.又T6的系数为负，系数最大的项为T71792x11.由n8知第5项二项式系数最大，此时T51120 x6.即时训练已知(12 x)n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的 2 倍，而等于它后一项的系数的56.(1)求该展开式中二项式
9、系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：(1)第 r1 项系数为 Cnr2r，第 r 项系数为 Cnr12r1，第 r2 项系数为 Cnr12r1，依题意得Cnr2r2Cnr12r1，Cnr2r56Cnr12r1，整理得CnrCnr1，Cnr53Cnr1.即2rn1，5nr3r1.求得 n7，故二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项T4C73(2 x)3280 x32，T5C74(2 x)4560 x2.(2)假设第 r1 项的系数最大，则C7r2rC7r12r1，C7r2rC7r12r1，即7！r！7r！2r7！r1！8r！2r1，7！r！7r！2r7！r1！6r！2r1，即2r
10、18r，17r 2r1，解得133 r163.又rN，r5，第 6 项的系数最大，展开式中系数最大的项为 T6C75(2 x)5672x52.热点之三 赋值法的应用1赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，1.2一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0得常数项，令x1可得所有项系数和，令x1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和例3 在二项式(2x3y)9的展开式中，(1)求各项的系数之和；(2)求奇数项系数之和；(3)求各项系数的绝对值之和课堂记录 (1
11、)(2x3y)9C90(2x)9C91(2x)8(3y)C92(2x)7(3y)2C99(3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9，令x1，y1，各项的系数之和为 a0a1a2a9(1)91.(2)令 x1，y1，a0a1a2a959，a0a1a2a91，得 a0a2a85912.奇数项系数之和为5912.(3)(2x3y)9展开式中a0，a2，a4，a6，a8大于零，而a1，a3，a5，a7，a9小于零，|a0|a1|a9|a0a1a2a3a9.令x1，y1，|a0|a1|a9|59.各项系数的绝对值之和为59.即时训练设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x
12、2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1 C1 D2解析：依题意知，令x21，等式右边为a0a1a2a11.把x1代入等式左边得(1)212(1)192(1)92，即a0a1a2a112.故选A.答案：A统计本部分近年的高考试题可以看出，考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题例 4(1)(2010辽宁高考)(1xx2)(x1x)6 的展开式中的常数项为_(2)(2010湖北高考)在(x4 3y)20 的展开式中，系数为有
13、理数的项共有_项解析(1)(x1x)6 的一般项为 Tr1C6r(1)rx62r，当 r3 时，T4C6320，当 r4 时，T5C6415，因此常数项为20155.答案(1)5(2)6(2)Tr13r4C20rx20ryr(r0,1,2，20)系数为有理数，r0,4,8,12,16,20，共 6 项1(2010陕西高考)(xax)5(xR)展开式中 x3 的系数为 10，则实数a 等于()A1 B.12 C1 D2解析：Tr1C5rx5rarxrarC5rx52r，因为 x3 系数为 10，所以 aC5110a2.答案：D答案：B2(2010江西高考)(2 x)8 展开式中不含x4 项的系数的和为()A1 B0C1 D2解析：(2 x)8C8028C8127(x)1C8226(x)2C8820(x)8.其中 x4 项为 C8820(x)8x4，取上式中的 x1 得所有项的系数和为(2 1)81，展开式中不含 x4项的系数和为 C8028C8127C8226C8721(2 1)810.