1、第十一节 变化率与导数、导数的运算1.导数概念及其几何意义(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数的定义求函数yC，yx，yx2，yx3，y，y的导数(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如f(axb)的导数(3)会使用导数公式表1xx1平均变化率函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率fxf(x2)f(x1)x2x1.2导数的概念函数 yf(x)在 xx0
2、 处的瞬时变化率是limx0f(x0 x)f(x0)xlimx0fx，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0 即 f(x0)limx0f(x0 x)f(x0)x.3导数的几何意义函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线的斜率 k，即 klimx0f(x0 x)f(x0)xf(x0)4导函数(导数)当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作 y，即 f(x)ylimx0f(xx)f(x)x.5几种常见函数的导数(1)c0(c 为常数)，(xn)nxn1(nZ)(2)(sinx)co
3、sx，(cosx)sinx(3)(lnx)1x，(logax)1xlogae(4)(ex)ex，(ax)axlna6函数的和、差、积、商的导数(uv)uv，(uv)uvuvuv uvuvv2，(cu)cu(c 为常数)7复合函数的导数设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf(x)在点x处有导数，且或yxyuuxf(x)f(u)(x)1f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值等于()A.193 B.163C.133D.103解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a103.答案：D2设正弦函数 ysinx 在 x
4、0 和 x2附近的平均变化率为k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为()Ak1k2Bk1k2.答案：A3函数yxcosxsinx的导数为()AxsinxBxsinxCxcosxDxcosx解 析：y (xcosx)(sinx)xcosx x(cosx)cosxcosxxsinxcosxxsinx.答案：B4已知一个物体的运动方程是s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是_解析：s12t，s|t3165.答案：5米/秒5 设 f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2008(x)_.解析：f1(x)co
5、sx，f2(x)sinx，f3(x)cosx，f4(x)sinxfn(x)是以4为周期的周期函数，2008被4整除，f2008(x)f0(x)sinx答案：sinx 热点之一 利用导数的定义求函数的导数根据导数的定义求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法：(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxf(x0 x)f(x0)x；(3)得导数 f(x0)limx0yx.简记作：一差、二比、三极限例 1 用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y4x2.课堂记录(1)因为yxf(xx)f(x)x(xx)2x2xx22xxx2x2x2xx，所以 ylimx0yxlimx
6、0(2xx)2x.(2)y4(xx)24x24x(2xx)x2(xx)2，yx4 2xxx2(xx)2，limx0yxlimx0 4 2xxx2(xx)2 8x3.即时训练 用导数的定义求函数 y 1x在 x1 处的导数解：yf(1x)f(1)11x11 1x1x 11x(1 1x)1xx(1 1x)1x，yx1(1 1x)1x.f(1)limx0yx12.热点之二 导数的计算求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当
7、变形例 2 求下列函数的导数：(1)yx2sinx；(2)y3xex2xe；(3)y lnxx21；(4)ysin32x.课堂记录 直接利用导数公式和导数运算法则求导(1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx；(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2；(3)y(lnx)(x21)lnx(x21)(x21)21x(x21)lnx2x(x21)2x212x2lnxx(x21)2；(4)y3(sin2x)2(sin2x)6sin22xcos2x.思维拓展 理解和掌握求导法则和公式的结构规律
8、是灵活进行求导运算的前提条件运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出：深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手即时训练 求下列函数的导数：(1)yxsinx；(2)ylnxx；(3)y x21；(4)ye1x.解：(1)y(xsinx)(x)sinxx(sinx)sinxxcosx.(2)ylnxx(lnx)x(x)lnxx21xxlnxx21lnxx2.(3)函数 y x21可以看作函数 y u和
9、 ux21 的复合函数，yxyuux(u)(x21)12 1u(2x)xx21.(4)函数 ye1x 可以看作由 yeu和 u1x 复合而成的函数，yx(eu)(ux)eu(1x)e1x.热点之三 导数的几何意义1函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0f(x0)(xx0)2利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程得切线方程yy0f(x0)(xx0)特别警示：求曲线的切
10、线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点例 3(1)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx310 x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为_(2)已知曲线 y13x343.求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；求曲线过点 P(2,4)的切线方程；求斜率为 4 的曲线的切线方程思路探究 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程课堂记录(1)由 y3x2102 可解得 x2，切点 P 在第二象限内，
11、x2，由此可得点 P 的坐标为(2,15)(2)P(2,4)在曲线 y13x343上，且 yx2，在点 P(2,4)处的切线的斜率 ky|x24.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.设曲线 y13x343与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0，13x0343)，则切线的斜率 ky|xx0 x02.切线方程为 y(13x0343)x02(xx0)，即 yx02x23x0343.点 P(2,4)在切线上，42x0223x0343，即 x033x0240，x03x024x0240，x02(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01
12、 或 x02，故所求的切线方程为 4xy40 或 xy20.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率 kx024，x02.切点为(2,4)或(2，43)，切线方程为 y44(x2)或 y434(x2)，即 4xy40 或 12x3y200.思维拓展 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数函数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标(2)切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点即时训练 设f(x)xlnx1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_解析：因为 f(x)xlnx1，所以 f(x)ln
13、xx1xlnx1.因为 f(x0)2，所以 lnx012，解得 x0e，y0e1.由点斜式得，f(x)在点(e，e1)处的切线方程为y(e1)2(xe)，即2xye10.故填2xye10.答案：2xye10 热点之四 导数的物理意义例4 有一架长度为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则：()当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？()何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？()何时其上端下滑的速度为4米/秒？思路探究 利用已知条件可以建立一个距离对时间的函数，即一个实际中的位移函数，由导数的物理意义可知所求的速度即是该函数在这一时刻的导数课堂
14、记录 设在时刻 t 秒时梯子上端距开始位置的距离为 s米，梯子下端离开墙角的距离为 x 米，则 x3t，s5 25x25 259t2，st9t259t2.()当 x1.4 米，即 3t1.4 时，st 1.43251.420.875(米/秒)()令 st3 得9t259t23，解得 t5 26.在时刻5 26 秒时，梯子的上、下端能以相同的速度移动()令 st4 得9t259t24，解得 t43，故在时刻43秒时，梯子上端下滑的速度为 4 米/秒即时训练 旗杆高10 m，一人以每秒3 m的速度向旗杆前进，当此人距杆脚5 m时，他与杆顶的距离改变率如何(此人的身高不计)?解：设从杆脚 5 m 向
15、杆前进，时间为 t 秒时该人距杆顶的距离为 s，则 s 102(53t)2，所以 s 2(53t)(3)2 102(53t)2，而所要求的改变率为在 5 m 处时的情况，即 t0，所以 s(0)151253 55(m/s)从近两年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识，例5(2010江西高考)如右图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记 t 时 刻 五 角 星 露 出 水 面 部 分 的 图 形 面 积 为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图象大致为()解析 五角星露出水面的面积的增长速度与其导函数的单调性相关，增长速度越快，导函数单调递增否则导函数单调递减五角星露出水面面积的增长速度先快又慢接着又快最后又慢答案 A1(2010辽宁高考)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是()A0，4)B4，2)C(2，34 D34，)解析：y 4ex(ex1)24ex21ex1，即 tan1，所以34.答案：D2(2010全国)若曲线 yx12在点(a，a12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a 等于()A64 B32C16 D8答案：A
