1、第三节 函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周
2、期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期存在一个最小f(x)1已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A13 B.13C.12D12解析：因 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13，且 f(x)f(x)，b0，ab13.答案：B2函数 f(x)1xx 的图象关于()Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称解析：f(x)1xx 是奇函数，所以图象关于原点对称答案：C3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(
3、2011)()A2B2C98D98解析：由f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，f(2011)f(50243)f(3)f(1)，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122，f(1)f(1)2.答案：A4已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)_.解析：yf(x)为奇函数，f(2)f(3)f(2)f(3)1.答案：15设 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)1x，则当 x0 时，f(x)1x，当 x0，f(x)1x，f(x)1x，当 x0)，x2x(x01x1，定义域关于原点对称又 f(x)lg1x1xlg(1x1x)1lg1x1xf(x)，故原函
4、数是奇函数(2)由1x1x0 且 1x01x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，|x22|20 得定义域为(1,0)(0,1)，f(x)lg(1x2)(x22)2lg(1x2)x2.f(x)lg1(x)2(x)2lg(1x2)x2f(x)，f(x)为偶函数解：当x1，f(x)(x)2x2f(x)当x1时，f(x)x2，x1，f(x)(x)2x2f(x)当1x1时，f(x)0，1x1，f(x)0f(x)综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数即时训练 判断函数 f(x)x2(x1)的奇偶性 热点之二 函数奇偶性的应用函数奇偶性常
5、见的应用问题有：1利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值2利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式例2(2010江苏高考)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a_.课堂记录 解法一：函数的定义域关于原点对称，令g(x)exaex，由f(x)是偶函数，知g(x)为奇函数，即g(x)g(x)，exaexexaex，即(1a)ex(1a)ex0，对一切xR恒成立，故a1.故填1.解法二：f(x)是偶函数，g(x)exaex为奇函数，g(0)e0ae00，故a1.故填1.即时训练 已知 f(x)12abx2log3(3x1)为偶函数，g(x)2xab2x 为奇函数，其中 a，b 为实数，
6、则 ab 的值是()A3 B3C3 或 3 D2 或 2解析：f(x)12abx2log3(3x1)为偶函数，则 f(x)f(x)，即12 ab(x)2log3(3 x 1)12 abx2log3(3x 1)0，abx2log3(3x13x1)2log33x2x，即(ab2)x0 恒成立，故 ab2.g(x)2xab2x 为奇函数，则 g(0)0，得 ab1，由ab2，ab1，解得a2，b1，或a1，b2，故 ab3 或 3.故选 C.答案：C 热点之三 函数的周期性函数的周期性是高考的热点之一，常考查的题型有：1判定函数的周期性，并求其最小正周期2利用函数的周期性，求特定函数值或求函数表达式
7、3结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用例3(2010揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2011)思路探究(1)由f(x2)f(x)f(x4)f(x)f(x)是周期函数(2)由奇函数2，0上的解析式由周期性 f(x)在2，4上的解析式(3)由周期性 和的值课堂记录(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22
8、xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.思维拓展 本例(3)不易找到思路而无法进行，原因是不能灵活运用函数的奇偶性、周期性即时训练 已知
9、f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x1)1，当x0,1时，有f(x)x2，现有三个命题：f(x)是以2为周期的函数；当x1,2时，f(x)x22x；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：正确f(x)f(x1)1(1)f(x1)f(x)1(2)(2)(1)得f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，则f(x2)f(x)，f(x)是以2为周期的函数正确当x1,2时，x10,1，f(x)1f(x1)1(x1)22xx2(x0,1时，f(x)x2)错误当x1,0时，x10,1f(x)1f(x1)1(x1)2，f(x)x22x.又x0,1，f(x)(x)2x2，f(x)f(x)，f
10、(x)不是偶函数答案：函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现例4(1)(2010山东高考)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于()A3 B1C1D3(2)(2010安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1B1C2D2解析(1)f(x)为奇函数，f(0)0.b1.f(
11、1)f(1)(21211)3.(2)由于f(x)的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为在R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案(1)D(2)A1(2010课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2解析：f(x2)0等价于f(|x2|)0f(2)，又f(x)x38(x0)为增函数，|x2|2.解得x4或x0.答案：B2(2010重庆高考)已知函数 f(x)满足：f(1)14，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则 f(2010)_.解析：因为 f(1)14，令 x1，y0，得 4f(1)f(0)f(1)f(1)，所以 f(0)12.令 y1，得 4f(x)f(1)f(x1)f(x1)，即 f(x)f(x1)f(x1)，所以 f(x1)f(x2)f(x)所以 f(x2)f(x1)，即 f(x3)f(x)所以 f(x6)f(x3)f(x)，所以 f(x)周期为 6，故 f(2010)f(0)12.答案：12