1、弹簧模型专门训练1、如图所示，半径分别为R和r （Rr）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧a、b被两小球夹住，同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求： （1）两小球的质量比. （2）若，要求a、b还都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能.（1）a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为 1分 1分 由动量守恒定律 2分 机械能守恒定律 1分 1分 联立得 3分 （2）若，由动量守恒定律得。2分 当a球恰好能通过圆轨道的最高点时，E弹最小， 3分2、如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小
2、球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离。（弹簧始终处于弹性限度以内） （1）在上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多大； （2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在A 球与弹簧分离之前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走。设B球与固定挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反。试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。m2mABv0当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大。设A、B的共同速度为v，弹簧
3、的最大势能为E，则A、B系统动量守恒由机械能守恒：联立两式得：设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA。系统动量守恒：B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，则：由两式得：代入式，化简得：而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则： mv0=mvA+2mvBm mv02/2=mvA2/2+2mvBm2/2 联立以上两式得：vBm 即vB的取值范围为：结合式可得：当vB时，Em有最大值为： 当vB时，Em有最小值为：评分标准：式各2分，式3分，各1分，各2分，共16分。3、（03年高考题）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一
4、个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。如图2，将N个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的
5、速度。1 2 3 4 N左左右右图1图2例1：（1）设每个小球质量为，以、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有 （以向右为速度正方向） 解得 由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：（2）以、分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律， 解得在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解： 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速
6、度仍为，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为，根据动量守恒定律：用E1表示最大弹性势能，由能量守恒有解得4、如图所示，一水平放置的圆环形刚性槽固定在桌面上，槽内嵌放着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为、，=2。小球与槽的两壁刚好接触，而且它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时，三球处于槽中、的位置，彼此间距离相等，和静止，以速度沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和。各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T。先考虑与的碰撞，令、分别为它们的碰后速度，由弹性正碰可得：，当与相碰后，交换速度，停在III处，以的速率运动。因为三段圆弧相等，当运动到I位置时，恰好返回。它们在I处的碰撞，停在I处，又以的速度顺时针运动，当再运动到II时，共经历了一个周期的，则：两次由运动I到II处的时间为：由运动II到III处的时间为：由III运动到I的时间为：系统的周期为：