1、数形结合思想专练一、选择题1(2021湖北襄阳模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1B2C.D答案C解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.2已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于点(1,2)对称B函数f(x)在(，1)上是增函数C函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴D函数f(x)的图象关于直线x1对称答案A解析由f(x)2知f(x)的图象是由y的图象平移得到的，作出其简图如图所示从图象可以看出f(x)的图象关
2、于点(1,2)成中心对称；其在区间(，1)和(1，)上均是减函数；没有能使ABx轴的点存在故选A.3(2021广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()Ax2y80Bx2y80C2xy160D2xy160答案A解析如图，由题意知OBAB，因为直线OB的方程为y2x，所以直线AB的斜率为，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为y0(x8)，即x2y80.故选A.4已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BC.D1答案B解析如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线
3、为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1，0)设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)所以()(x，y)(2x，2y)2x222.当x0，y时，()取得最小值.5(2022广东广州花都区高三上调研考试)已知函数f(x)g(x)f(x)xa，若g(x)存在3个零点，则a的取值范围是()A.BC.D答案D解析令g(x)f(x)xa0，即f(x)xa，则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数yxa图象的交点个数，作出函数f(x)与函数yxa的图象，如图所示，当x1时，yex，则yex，令ex1，则x0，即直线yxa与曲线yex相切
4、的切点为(0,1)，此时a1，因为g(x)存在3个零点，即函数f(x)与函数yxa的图象有3个交点，所以解得1a0时，函数f(x)ex1与g(x)ax的图象恰有一个公共点，则g(x)ax为f(x)ex1的切线，且切点为(0,0)，因为f(x)ex，所以af(0)e01.故选BCD.7(多选)(2022湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知函数f(x)|sinx|cosx，则以下叙述正确的是()A若f(x1)f(x2)，则x1x2k(kZ)Bf(x)的最小正周期为2Cf(x)在上单调递减Df(x)的图象关于直线xk(kZ)对称答案BCD解析f(x)|sinx|cosx作出f(x)的图象如图，对
5、于A，由图知，若f(x1)f(x2)，不一定有x1x2k(kZ)，如取x1，x2，此时满足f(x1)f(x2)，但不满足x1x2k(kZ)，故A不正确；对于B，由图知f(x)的最小正周期为2，故B正确；对于C，由图知f(x)在上单调递减，故C正确；对于D，由图知f(x)的图象关于直线xk(kZ)对称，故D正确故选BCD.8(多选)(2021山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到(2，t)时，|PF|4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)下列结论正确的是()A抛物线的方程为y24xB|PM|PF|的最小值为6C存在直
6、线l，使得A，B两点关于直线xy60对称D当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切答案BD解析因为点P为抛物线y22px(p0)上的动点，当P运动到(2，t)时，|PF|4，所以|PF|24，p4，故y28x，A错误；过点P作PE垂直准线于点E，则|PM|PF|PM|PE|6，当P，E，M三点共线时等号成立，B正确；假设存在直线l，使得A，B两点关于直线xy60对称，则直线l的斜率为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点H(x0，y0)，则y8x1，y8x2，两式相减得到(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，即，因为1，y1y22y0，所以1，故y04，x02，而点(2,
7、4)在抛物线上，故不存在直线l，使得A，B两点关于直线xy60对称，C错误；过点A作AC垂直准线于点C，交y轴于点Q，取AF的中点为G，过点G作GD垂直y轴于点D，则|DG|(|OF|AQ|)|AC|AF|，故以AF为直径的圆与y轴相切，D正确故选BD.二、填空题9已知函数f(x)log2(x1)，且abc0，则，的大小关系为_答案0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为abc0，所以0)个单位，所以t(2t)，解得t.所以此时函数f(x)的最大值为，则实数m的取值范围为.三、解答题13已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得
8、APB90，求m的最大值解根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.14记实数x1，x2，xn中的最小数为minx1，x2，xn，求定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3，13x的最大值解在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为直线yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y13x上C
9、点下方的部分的组合图显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.15设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，求|的最小值解设AB的中点为D，则2，当且仅当O，D，P三点共线且OPl时，|取得最小值圆心到直线l的距离为，|OD|，|的最小值为2.16设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且仅有4个解，求实数a的取值范围解若x(0，)，则F(x)g(x)，F(x)g(x)x，当x(0,1)时，g(x)0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).若x(，0，则F(x)f(x)当a0时，方程F(x)a20不可能有4个解；当a0，当x(，1)时，f(x)0时，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图2所示，由图象可知，方程F(x)a2若有4个解，则a2，所以实数a的取值范围是.