1、单元质量测试(四)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知i是虚数单位，复数z满足i，则|z|()A5 B. C. D.答案C解析由i，得2ziiz，则zi，所以|z|.故选C.2(2021辽宁沈阳高三年级质量监测)已知i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析z，复数z在复平面内对应的点在第四象限故选D.3(2022四川成都市高三期末)在ABC中，点D在BC边上，且3，则()A.B.C.D.答案B解析如图，因为3，所以()，所以()
2、.故选B.4设aR，复数z，若|z|1，则a()A10 B9 C8 D7答案D解析1，解得a7.故选D.5(2021山东泰安肥城模拟)已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足3，CD与AE交于点M，若xy，则xy()A. B C. D答案C解析易知BC4AD，CE2AD，ADCE，所以ADMECM，所以，所以，所以()(6)2，所以xy2.故选C.6(2021新高考八省联考)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sina，c()A. B. C. D.答案B解析因为a，b是单位向量，所以|a|b|1.因为cab，所以|c|ab| 3.所以cosa，c，所以sina，c.故选B.7(20
3、21湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且20，则AOB的面积是()A4 B. C. D2答案D解析根据题意，设AB的中点为D，连接CD，则2，又20，则，则O是CD的中点，又ABC是边长为4的等边三角形，则CDAB，AD2，CD2，则OD，则SAOB42.故选D.8(2021湖湘名校教育联合体高三入学考试)已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面上一点，满足()0，则|的最小值是()A. B.C. D.答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x,1y)，
4、(x,1y)，故(23x,23y)，由已知得，(x)(23x)(y)(23y)0，即222，点P在以M为圆心，r为半径的圆上又|表示圆上的点到点D的距离，|min|DM|r.故选A.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9已知复数z满足z22|z|0，则z可能为()A0 B2 C2i D2i答案ACD解析令zabi(a，bR)，代入z22|z|0，得a2b222abi0，则解得或或所以z0或z2i或z2i.10(2021湖南长沙长郡中学模拟)下面是关于复数z(i为虚数单位)的命题，其中真命题为
5、()A|z|Bz22iCz的共轭复数为1iDz的虚部为1答案ABD解析因为z1i，所以|z|，A为真命题；z22i，B为真命题；z的共轭复数为1i，C为假命题；z的虚部为1，D为真命题故选ABD.11. 如图，B是AC的中点，2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且xy(x，yR)以下结论中正确的是()A当x0时，y2,3B当P是线段CE的中点时，x，yC若xy为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段Dxy的最大值为1答案BCD解析当y时，根据共线向量的充要条件得P在线段BE上，故1y3，故A错误；当P是线段CE的中点时，3()3(2)2()，故B正确；当xy为定值1时，A
6、，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是线段BC，故C正确；当P与B重合时，xy能取得最大值，此时x0，y1，xy1，故D正确故选BCD.12(2021山东济南高三联考)已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足20，2，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是()A. B.C.0 DS4答案BD解析由20，2，可知点P为AC靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示对于A，点P为AC靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，()，故B正确；对于C，|cos|0，y0)，则的最大值
7、为_答案解析，xyxyx，B，F，D三点共线，xy12y23x，当且仅当4y，即y，x时取等号四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(2021定远县民族学校高三调研考试)(本小题满分10分)已知A(1，2)，B(a,1)，C(2,3)，D(1，b)(a，bR)是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.(1)若z1z21i，求z1，z2；(2)若|z1z2|2，z1z2为实数，求a，b的值解(1)(a,1)(1,2)(a1，1)，(1，b)(2,3)(3，b3)，所以z1(a1)i，z23(b3)i，所以z1z2(a4)(b4)i，又z1z2
8、1i，z14i，z232i.(2)由(1)得z1z2(a4)(b4)i，z1z2(a2)(2b)i，|z1z2|2，z1z2为实数，18(2021河北省保定模拟)(本小题满分12分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，且b(2,1)(1)若|a|2，且ba，求a；(2)若c(2,1)，且bc与bc互相垂直，求.解(1)设a(x，y)，依题意得解得或即a(4,2)或a(4，2)(2)因为bc(2,1)(2，)(22，1)，bc(2，)(2,1)(22，1)，因为bc与bc互相垂直，所以(bc)(bc)0，即4(1)(1)(1)(1)0，所以3(1)(1)0，解得1或1.19(2022湖北高
9、三月考)(本小题满分12分)已知aR，bR，方程x2axb0的一个根为1i，复数z1abi，z2满足|z2|4.(1)求复数1；(2)若1z20，求复数z2.解(1)依题意，得(1i)2a(1i)b0，即(ab)(2a)i0， 由复数相等的定义及a，bR，得解得故复数1abi22i.(2)设z2xyi(x，yR)，由|z2|4，得x2y216，1z2(22i)(xyi)(2x2y)(2x2y)i，由1z20，得即所以解得所以z222i.20. (2022广东珠海高三质量检测)(本小题满分12分)已知ABC内接于O，ABc，BCa，CAb，O的半径为r.(1)若2 0，试求BOC的大小；(2)若
10、A为动点，BAC，试求的最大值解(1)20，2，2(2，AOOBOCr，r24r222r2cosBOC3r2，解得cosBOC，又BOC(0，)，BOC.(2)BAC，BOC，2()2，r22r22r2cos2r2，221，根据题意，可知0，0，()23131(当且仅当时等号成立)，()24，02.的最大值为2.21(2021山东潍坊一中高三期中)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足.(1)求的值；(2)已知A(1，cosx)，B(1cosx，cosx)，x，f(x)|.若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值解(1)由题意知A，B，C三点满足，可得
11、()，所以()，即，即2，则|2|，所以2.(2)由题意，得(1，cosx)，(1cosx，cosx)，(cosx,0)，所以函数f(x)|1cosxcos2xcosx(cosxm)21m2.因为x，所以cosx0,1，当m1时，当cosx1时，f(x)取得最小值g(m)22m，综上所述，g(m)可得g(m)的最大值为1.22(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系中，点A(a,0)，点B(0，b)(其中a，b为常数，且ab0)，点O为坐标原点(1)设点P为线段AB靠近A点的三等分点，(1)(R)，求的值；(2)如图，设点P1，P2，Pk，Pn1是线段AB的n等分点，(1)，其中1kn1，n，kN*，n2，求(用含n和k的式子表示)，并且当n2020时，求|OPn1|的值(用含a，b的式子表示)；(3)若ab1，t0,1，求|t|的最小值解(1)(1)(1)(1)()(1)，点P为线段AB上靠近A点的三等分点，1，即.(2)(1)(1)(1)，又，1，则1.当n2020时，OP2019，OP2019，事实上，对任意的正整数m，n，且mn2020，有，|OPn1| .(3)ab1时，线段AB上存在一点M，使得t，(1t)，且存在点N，则t，(1t)，|t|，即线段AB上一点M，到点O和点N的距离之和，作点O关于线段AB的对称点O(1,1)，则最小值为|ON|.|t|的最小值为.