1、分类讨论思想专练 一、选择题 1已知二次函数 f(x)ax22ax1 在区间3，2上的最大值为 4，则 a 等于()A3B38C.3D38或3 答案 D 解析 当 a0 时，f(x)在3，1上单调递减，在1，2上单调递增，可知当 x2 时，f(x)取得最大值，即 8a14，解得 a38.当 a0 时，易知 f(x)在 x1 处取得最大值，即a14，所以 a3.综上可知，a38或3.故选 D.2(2022石家庄市高中毕业班综合训练)已知函数 f(x)x3x21，xf(3x)的解集为()A(2，)B(，1)(2，)C(，1)D(1,2)答案 B 解析 当 x0 恒成立，所以 f(x)在(，0)上单
2、调递增，且 f(x)f(3x)，所以 x223x，解得 x2，故选 B.3若关于 x 的方程|ax1|2a(a0 且 a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D0，12 答案 D 解析 方程|ax1|2a(a0 且 a1)有两个不同实数根转化为函数 y|ax1|与 y2a 的图象有两个交点 当 0a1 时，如图 1，02a1，即 0a1 时，如图 2，而 y2a1 不符合要求综上，0a1，a2020a20211，a20201a202110.下列结论正确的是()AS2020S2021 Ba2020a202210 CT2021 是数列Tn中的最大值
3、D数列Tn无最大值 答案 AB 解析 当 q0 时，a2020a2021a22020q1，a20211，a20201a202110 不成立；故 0q1,0a2021S2020，A 正确；a2020a20221a2202110，故 B 正确；T2020 是数列Tn中的最大值，C，D 错误故选 AB.二、填空题 7 已 知 曲 线 y 13 x3 上 一 点 P 2，83，则 过 点 P 的 切 线 方 程 为_ 答案 12x3y160 或 3x3y20 解析 当 P 为切点时，由 y13x3 x2，得 yx24，即过点 P 的切线方程的斜率为 4.则所求的切线方程是 y834(x2)，即 12x
4、3y160.当 P 点不是切点时，设切点为 Qx0，13x30，则切线方程为 y13x30 x20(xx0)，因为切线过点 P2，83，把 P 点的坐标代入以上切线方程，求得 x01 或x02(即点 P，舍去)，所以切点为 Q1，13，即所求切线方程为 3x3y20.综上所述，过点 P 的切线方程为 12x3y160 或 3x3y20.8(2022重庆高三上学期第二次质量检测)若函数 f(x)x2axa，x1，aexx1，x1有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_ 答案，1e2 解析 当 x1 时，由 x2a(x1)，ya(x1)恒过定点(1,0)，作出 yx2 与 ya(x1)的图象，
5、如图，由图象知 a0 时，f(x)无零点当 x1 时，由 ax1ex，令 g(x)x1ex，则 g(x)2xex，则 x2 时，g(x)取得最大值 g(2)1e2，则 a0 或 a1e2时，f(x)有一个零点；0a1e2时，f(x)无零点综上所述，当 a，1e2 时，f(x)有两个零点 9(2021山东济宁嘉祥县第一中学高三四模)将函数 f(x)2sin2x6 的图象向右平移 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到 g(x)的图象，若 g(x1)g(x2)9，且 x1，x22，2，则 sin(x1x2)的值为_ 答案 1 或1 解析 由题意，得 g(x)2sin2x1，g(x)的最大
6、值为 3，最小值为1，因为g(x1)g(x2)9，则 g(x1)g(x2)3，由 g(x)2sin2x13，得 2x2k2，kZ，则 xk4，kZ，又 x1，x22，2，所以 x1，x274，34，4，54.设 x1k14，x2k24，k1，k2Z，则 x1x2(k1k2)2，则当 k1k2 为偶数例如k11，x134，k21，x254 时，sin(x1x2)1，当 k1k2 为奇数例如k10，x14，k21，x254 时，sin(x1x2)1.综上可得，sin(x1x2)的值为 1 或1.三、解答题 10设各项不为 0 的数列an中，前 n 项和为 Sn，且 a129，2Snanan1.(1
7、)求数列an的通项公式；(2)求 Sn 的最小值 解(1)a129,2Snanan1，2Sn1an1an2，得 2an1an1(an2an)，an10，an2an2，数列an的奇数项成等差数列，又 a129，当 n 为奇数时，ana1n12 2n30；在中，令 n1，得 2S12a1a1a2，a22，又数列an的偶数项成等差数列，当 n 为偶数时，ana2n22 2n；ann30，n为奇数，n，n为偶数.(2)由(1)可知，当 n 为偶数时，ann0，要使 Sn 最小，n 必然是奇数 当 n 为奇数时，Snn12 29n302n12 2n12 n229n302，且 yx229x30 的图象的对
8、称轴为直线 x292 14.5，nN*，且 n 是奇数，当 n15 时，(Sn)minS151522915302120.11.如图，A，B，C，D 为空间四点在ABC 中，AB2，ACBC 2，等边三角形 ADB 以 AB 所在直线为轴转动(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD；(2)当ADB 转动时，是否总有 ABCD？证明你的结论 解(1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，ADB 是等边三角形，DEAB.当平面 ADB平面 ABC 时，平面 ADB平面 ABCAB，DE平面 ABC，可得 DEEC.由已知可得 DE 3，EC1，在 RtDEC 中，CDDE2EC22.(
9、2)当ADB 以 AB 所在直线为轴转动时，总有 ABCD.证明：当 D 在平面 ABC 内时，ACBC，ADBD，C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，则 ABCD.当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 ABDE.又 ACBC，ABEC.又 DE，EC 为相交直线，DE，EC 平面 DEC，AB平面 DEC，由 CD 平面 DEC，得 ABCD.综上所述，当ADB 以 AB 所在直线为轴转动时，总有 ABCD.12.(2022福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一)如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px(p0)的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线
10、 l的倾斜角为 45时，|MN|16.(1)求抛物线 C 的方程；(2)试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)当直线 l 的倾斜角为 45时，直线 l 的斜率为 1，Fp2，0，l 的方程为 yxp2.由yxp2，y22px，得 x23pxp24 0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x23p，|MN|x1x2p4p16，p4，抛物线 C 的方程为 y28x.(2)假设满足条件的点 P 存在，设 P(a,0)，由(1)知 F(2,0)，当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 y
11、k(x2)(k0)，由ykx2，y28x，得 k2x2(4k28)x4k20，(4k28)24k24k264k2640，x1x24k28k2，x1x24.直线 PM，PN 关于 x 轴对称，kPMkPN0，而 kPMkx12x1a，kPNkx22x2a.k(x12)(x2a)k(x22)(x1a)k2x1x2(a2)(x1x2)4a8a2k0，a2，此时 P(2,0)当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可 综上，存在唯一的点 P(2,0)，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称 13(2022江苏盐城伍佑中学高三上
12、第一次阶段考试)设 f(x)xsinxcosx，g(x)x24.(1)讨论 f(x)在，上的单调性；(2)令 h(x)g(x)4f(x)，试证明：h(x)在 R 上有且仅有三个零点 解(1)f(x)sinxxcosxsinxxcosx，令 f(x)0，又 x，则 x0 或 x2.故当 x，2 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x2，0 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x2，时，f(x)0 时，h(x)的零点个数即可 当 x0 时，h(x)2x4xcosx2x(12cosx)，令 h(x)0，即 cosx12，x32k 或 x53 2k(kN)当 x0，3 时，h(x)0，h(x)单调递减，且 h3 29 22 330，h(x)单调递增，且 h53 2529 10 3320，所以 h(x)在0，53 上有唯一零点 当 x53 时，由于 sinx1，cosx1，所以 h(x)x244xsinx4cosxx244x4x24xt(x)，而 t(x)在53，上单调递增，t(x)t53 0，所以 h(x)0 恒成立，故 h(x)在53，上无零点，所以 h(x)在(0，)上有一个零点，由于 h(x)是偶函数，所以 h(x)在(，0)上有一个零点，而 h(0)0，综上，h(x)在 R 上有且仅有三个零点