1、函数与方程思想专练一、选择题1椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|()A.BC.D4答案C解析如图，令|PF1|r1，|PF2|r2，那么r2.故选C.2(2022青海省西宁市高三复习检测(一)关于x的方程cos2xsinxa0，若0x时方程有解，则a的取值范围是()A1,1B(1,1C1,0D答案B解析cos2xsinxa0，asinxcos2xsinx(1sin2x)2，0x，0sinx1，sinx，2，11)米，ACt(t0)米，则ABAC0.5(t0.5)米，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60，即(
2、t0.5)2t2x2tx，化简并整理得t(x1)，即tx12，因为x1，故tx122，此时t取最小值2.故选D.5(多选)(2021河北邢台高三质检)对于数列an，若存在数列bn满足bnan(nN*)，则称数列bn是an的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”叙述正确的是()A若数列an是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B若an3n1，则其“倒差数列”有最大值C若an3n1，则其“倒差数列”有最小值D若an1n，则其“倒差数列”有最大值答案ACD解析若数列an是单增数列，则bnbn1anan1(anan1)(1)，虽然有anan1，但当10时，bnbn1，因此bn不一定是单增数列，A正确
3、；若an3n1，则bn3n1，易知bn是递增数列，无最大值，有最小值，最小值为b1，B错误，C正确；若an1n，则bn1n，当n为偶数时，an1n(0,1)，bnan1，显然an是递减的，因此bnan也是递减的，即b1b3b5，bn的奇数项中有最大值为b10，b1是数列bn(nN*)中的最大值，D正确故选ACD.二、填空题6已知向量a(1,0)，b(，2)，|2ab|ab|，则实数_.答案解析由a(1,0)，b(，2)，得2ab(2,0)(，2)(2，2)，ab(1，2)，所以|2ab|2(2)2(2)2842，|ab|2522，又|2ab|ab|，所以842522，解得.7(2021河北衡水
4、中学全国高三第一次联考)已知实数a，b(，)，且满足ln ，则a，b，的大小关系是_答案ab解析由ln ，得ln aln b设f(x)ln x，则f(x).当x(，)时，f(x)0恒成立，故f(x)在区间(，)上单调递增，又f(a)f(b)，所以ab，所以ab.8(2022江苏盐城、淮安、宿迁、如东等地高三第一次大联考)现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为9 cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径r_cm时，圆柱的体积最大，且最大值为_cm3.答案3解析设圆柱上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，O2为正四面体底面中心，圆柱的上底面与正四面体侧面ACD
5、的交点N在侧面中线AM上，正四面体棱长为9，BM9.O2M，BO23，AO23，设圆柱底面半径为r，高为h，由O1NO2M得，h32r，V圆柱r2(32r)3r22r3，令f(r)3r22r3，f(r)6r6r2，令f(r)0得r，r时，f(r)max3(32)3.三、解答题9在ABC中，D是BC边的中点，AB3，AC，AD.(1)求BC边的长；(2)求ABC的面积解(1)设BDx，则BC2x，在ABD中，有cosABD，在ABC中，有cosABC，且ABDABC，即，解得x2，所以BC4.(2)由(1)可知，cosB，B(0，)，得sinB，所以SABCABBCsinB343.10(2021
6、贵州省凯里一中月考)在等差数列an中，已知a3a484a5，a836.(1)求数列an的通项公式；(2)记Sn为数列an的前n项和，求的最小值解(1)由a3a484a5得a428，由得数列an的通项公式为an22(n1)22n20.(2)由(1)得，Sn22n2n221n，n21，nN*，令f(x)x21，x0，f(x)1，当x(0,2)时，f(x)0，则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，又nN*，f(4)f(5)30，当n4或5时，取最小值，为30.11(2022湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部
7、门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，两轮比赛过程相互独立(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列及数学期望；(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0p1)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p)，当pp0时，f(p)最大，试求p0的值解(1)设
8、甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件A1，A2，则P(A1)，P(A2).由题意知X的取值可能为0,1,2，则P(X0)，P(X1)，P(X2).那么X的分布列为X012PE(X)0121.(2)由题意，知小组中2人答对的概率为C(1p)2p2,3人答对的概率C(1p)p3，则f(p)6(1p)2p24(1p)p32p48p36p2.f(p)8p324p212p4p(2p26p3)，令f(p)0得p10(舍去)，p2，p3(舍去)，在上，f(p)单调递增，在上，f(p)单调递减故p时，f(p)最大所以p0.12在平面直角坐标系中，动点M到定点F(1,0)的距离与它到直线x2的距离之比是常数，记点M
9、的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由解(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(1，0)的距离与它到直线x2的距离之比是常数，得，整理得y21，轨迹T的方程为y21.(2)假设存在直线m，设直线m的方程为xky1，由消去x，得(k22)y22ky10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，x1x2k(y1y2)2，线段AB的中点H的坐标为.四边形APBQ为菱形，直线PQ为线段AB的中垂线直线PQ的方程为yk，令y0，解得x，即P.设Q(x0，y0)，P，Q关于点H对称，(y00)，解得x0，y0，即Q.点Q在椭圆上，2222，解得k2，于是，即，直线m的方程为yx或yx.