1、单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列an的公差是()A.14B.4C.-4D.-3答案:B解析:数列an是等差数列,a6=15,S9=99,a1+a9=22,2a5=22,a5=11.公差d=a6-a5=4.2.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.189答案:C解析:在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,设公比为q,则3+3q+3q2=21,解得q=2,故a
2、3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=2122=84.3.在等差数列an中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列an的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或25答案:A解析:设an的公差为d.在等差数列an中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,S5=5a1+542d=5(-1)+54=15.故选A.4.已知等差数列an和等比数列bn满足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.36答案:D解析:由3a1-a82+3a15=0,得a
3、82=3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,即a82-6a8=0.因为a8=b100,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b102=36.5.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.12D.23答案:B解析:S2=3a2+2,S4=3a4+2,S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1-x).若数列an满足a1=12,且an+1=11
4、-an,则f(a11)=()A.2B.-2C.6D.-6答案:C解析:设x0,则-x0,由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1an=2,即数列1an是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a6=1a1+52=11,即a6=111.8.已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1,则an=.答案:-3n-1解析:令n=1,则2S1=3a1+1,又S1=a1,则a1=-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=12(3an-3an-1),整理得an=3an-1,即anan-1=3(n2).因此,an是首项为a1=-1,公比为q=3的等比数列,即an=-3n-1.三、解答题(本大
5、题共3小题,共44分)9.(14分)在数列an和bn中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列cn满足cn=bn-an.(1)求数列an和cn的通项公式;(2)若b6=am,求m的值.解:(1)因为an+1=an+2,且a1=1,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=1+(n-1)2=2n-1.因为b1=3,b2=7,且a1=1,a2=3,所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4.因为数列cn是等比数列,所以数列cn的公比q=c2c1=2,所以cn=c1qn-1=22n-1=2n.(2)由(1)得bn-an=2n,an=2n-1,所以bn=2n+2n-
6、1.所以b6=26+26-1=75.令2m-1=75,解得m=38.10.(15分)已知数列an的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且数列Snn是公差为2的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)数列Snn是公差为2的等差数列,且S11=a1=1,Snn=1+(n-1)2=2n-1.Sn=2n2-n.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3.a1符合an=4n-3,an=4n-3.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)
7、+-(4n-7)+(4n-3)=4n2=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上所述,Tn=2n,n=2k,kN*,-2n+1,n=2k-1,kN*.11.(15分)(2020广西钦州一模)在递增的等比数列an中,a3=16,a2+a4=68.Sn为等差数列bn的前n项和,b1=a1,S2=a2.(1)求an,bn的通项公式;(2)求数列4anSn的前n项和Tn.解:(1)由题意,设等比数列an的公比为q,则a1q2=16,a1q+a1q3=68,两式相比,可得1+q2q=174,化简整理,得4q2-17q+4=0,解得q=14或
8、q=4.数列an是递增的等比数列,q14,从而q=4.数列an的通项公式为an=a3qn-3=164n-3=4n-1.b1=a1=41-1=1,S2=b1+b2=1+b2=a2=4,解得b2=3.设等差数列bn的公差为d,则d=b2-b1=3-1=2,数列bn的通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)知,Sn=n+n(n-1)22=n2,4anSn=44n-1n2=n2n.Tn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n,2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减,可得-Tn=21+22+23+2n-n2n+1=2-2n+11-2-n2n+1=-(n-1)2n+1-2,Tn=(n-1)2n+1+2.
