1、单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列an的公差是()A.14B.4C.-4D.-3答案:B解析:数列an是等差数列,a6=15,S9=99,a1+a9=22,2a5=22,a5=11.公差d=a6-a5=4.2.(2020全国,文6)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则Snan=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1答案:B解析:设等比数列an的公比为q.a5-a3=12,a6-a4=24,a6-
2、a4a5-a3=q=2.又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,a1=1.an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=1(1-2n)1-2=2n-1.Snan=2n-12n-1=2-12n-1=2-21-n.故选B.3.在等差数列an中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列an的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或25答案:A解析:设an的公差为d.在等差数列an中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,S5=5a1+542d=5(-1)+54=15.故选A
3、.4.已知等差数列an和等比数列bn满足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.36答案:D解析:由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,即a82-6a8=0.因为a8=b100,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b102=36.5.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.12D.23答案:B解析:S2=3a2+2,S4=3a4+2,S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0
4、,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1-x).若数列an满足a1=12,且an+1=11-an,则f(a11)=()A.2B.-2C.6D.-6答案:C解析:设x0,则-x0,由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1an=2,即数列1an是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a6=1a1+52=11,即a6=111.8.已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1,则an=.答案:-3n-1解析:令n=1,则2S1=3a1+1,又S1=a1,所以a1=-1.当n2时,an=
5、Sn-Sn-1=12(3an-3an-1),整理得an=3an-1,即anan-1=3(n2).因此,an是首项为a1=-1,公比为q=3的等比数列,即an=-3n-1.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解：(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.10.(15分)已知数列an满足an=6-
6、9an-1(nN*,n2).(1)求证:数列1an-3是等差数列;(2)若a1=6,求数列lg an的前999项的和.答案：(1)证明1an-3-1an-1-3=an-13an-1-9-1an-1-3=an-1-33an-1-9=13(n2),数列1an-3是等差数列.(2)解1an-3是等差数列,且1a1-3=13,d=13,1an-3=1a1-3+13(n-1)=n3.an=3(n+1)n.lgan=lg(n+1)-lgn+lg3.设数列lgan的前999项的和为S,则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg
7、3.11.(15分)记Sn为数列an的前n项和,若a1=19,Sn=nan+1+n(n+1).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=|an|,数列bn的前n项和为Tn,求T20的值.解：(1)当n2时,因为Sn=nan+1+n(n+1),所以Sn-1=(n-1)an+n(n-1),-得,an=nan+1-(n-1)an+2n,即an+1-an=-2(n2).又S1=a2+2,即a2-a1=-2,所以数列an是以19为首项,-2为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)(-2)=21-2n.(2)由(1)知an=21-2n,所以bn=|an|=|21-2n|.因为当n10时an0,当n10时an10,所以T20=b1+b2+b20=(19+17+1)+(1+3+19)=2(19+17+1)=2(19+1)102=200.