1、2016-2017学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1已知集合A=1，2，6，B=2，3，6，则AB=2函数y=3cos（2x+）的最小正周期为3sin（1740）=4已知=（x+1，2），=（4，7），且与的夹角为锐角，则x的取值范围为5已知（0，），若函数f（x）=cos（2x+）为奇函数，则=6已知f（x）=，则f（）的值为7将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为8已知cos=，（，2），则tan（）=9设函数f（x）=，其中a0，若f（x）的值域为
2、R，则实数a的取值范围是10设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为11函数f（x）=logcos（2x）的单调递增区间为12已知平面上的向量、满足， =2，设向量，则的最小值是13已知P（x0，y0）是单位圆上任一点，将射线OP绕点O顺时针转到OQ交单位圆与点Q（x1，y1），若my0y1的最大值为，则实数m=14已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，nR都满足ff（m）+f（n）=f2（m）+2n，则函数g（x）=|ff（x）4|+log3x1的零点个数为三、解答题（本大题共6小题，共64分）15如图，在平面直角坐标系xoy中，A，B，C均为O上的点，其中A（，），C
3、（1，0），点B在第二象限（1）设COA=，求tan2的值；（2）若AOB为等边三角形，求点B的坐标16已知函数f（x）=ax2，其中aR（1）若a=1时，求函数f（x）的零点；（2）当a0时，求证：函数f（x）在（0，+）内有且仅有一个零点17如图，在ABC中，已知AB=2，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且=2， =5，（1）若=+，求证：点F为DE的中点；（2）在（1）的条件下，求的值18已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数f（x）=2（+），已知f（）=，（，），求sin的值19如图，函数y=2cos（x
4、+）（0，0）的图象与y轴交于点（0，），周期是（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0，时，求x0的值20已知关于x的函数f（x）=x22ax+2（1）当a2时，求f（x）在，3上的最小值g（a）；（2）如果函数f（x）同时满足：函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；在函数的定义域内存在区间p，q，使得函数在区间p，q上的值域为p2，q2则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”（i）若关于x的函数y=+t（x1）是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中g（a
5、）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由2016-2017学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1已知集合A=1，2，6，B=2，3，6，则AB=1，2，3，6【考点】并集及其运算【分析】利用并集定义求解【解答】解：集合A=1，2，6，B=2，3，6，AB=1，2，3，6故答案为：1，2，3，62函数y=3cos（2x+）的最小正周期为【考点】余弦函数的图象【分析】根据余弦函数y=Acos（x+）的最小正周期为T=，求出即可【解答】解：函数y=3cos（2x+）的最小正周期为T=故答案为：3
6、sin（1740）=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果【解答】解：原式=sin1740=sin（536060）=sin60=，故答案为：4已知=（x+1，2），=（4，7），且与的夹角为锐角，则x的取值范围为（，+）【考点】平面向量数量积的运算【分析】令0即可解出x的范围，再排除掉共线的情况即可【解答】解：若，则8+7（x+1）=0，x=，与的夹角为锐角，x=4（x+1）14=4x10，与的夹角为锐角，0，即4x100，x，故答案为（，+）5已知（0，），若函数f（x）=cos（2x+）为奇函数，则=【考点】余弦函数的图象【
7、分析】根据余弦函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：若函数f（x）=cos（2x+）为奇函数，则=+k，kZ，又（0，），所以=故答案为：6已知f（x）=，则f（）的值为1【考点】函数的值【分析】由题意f（）=f（）+=sin（）+，由此能求出结果【解答】解：f（x）=，f（）=f（）+=sin（）+=sin+=1故答案为：17将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标
8、变为原来的倍时的解析式即可【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x故答案为：y=sin4x8已知cos=，（，2），则tan（）=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，可得tan的值，再利用诱导公式，两角和差的正切公式求得要求式子的值【解答】解：cos=，（，2），（，2），sin=，tan=，则tan（）=tan（+）=，故答案为：9设函数f（x）=，其中a0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是7，+）【考点】函数的
9、值域【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x3）是增函数，其值域y27+4a，y=2x+a2（x3）也是增函数，其值域y9+a2要使f（x）的值域为R，只需9+a227+4a即可，从而可得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=，其中a0，令y1=3x+4a，（x3）是增函数，其值域y127+4a，y2=2x+a2（x3）也是增函数，其值域y29+a2要使f（x）的值域为R，只需9+a227+4a解得：a7或a3a0，实数a的取值范围是7，+）故答案为：7，+）10设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正
10、弦函数；二倍角的正弦【分析】先设=+，根据cos求出sin，进而求出sin2和cos2，最后用两角和的正弦公式得到sin（2+）的值【解答】解：设=+，sin=，sin2=2sincos=，cos2=2cos21=，sin（2+）=sin（2+）=sin（2）=sin2coscos2sin=故答案为：11函数f（x）=logcos（2x）的单调递增区间为（k+，k+）（kZ）【考点】对数函数的图象与性质【分析】先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时2x的范围，进而求得x的范围，求得函数f（x）的单调递增区间即可【解答】解：对于函数g（x）=cos（2x）的单调减区间为2k2x2k+，即k+xk
11、+，而cos（2x）0，故函数g（x）的单调减区间为（k+，k+）（kZ），根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（k+，k+）（kZ）递增，故答案为：（k+，k+）（kZ）12已知平面上的向量、满足， =2，设向量，则的最小值是2【考点】向量的模【分析】利用勾股定理判断出PA，与PB垂直，得到它们的数量积为0；求的平方，求出范围【解答】解：，=0=34故答案为213已知P（x0，y0）是单位圆上任一点，将射线OP绕点O顺时针转到OQ交单位圆与点Q（x1，y1），若my0y1的最大值为，则实数m=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设P（cos，sin），则Q（cos（+），sin（+
12、），则my0y1=msinsin（+），整理后利用辅助角公式化积，再由my0y1的最大值为，列关于m的等式求得m的值【解答】解：设P（cos，sin），则Q（cos（+），sin（+），即y0=sin，y1=sin（+），则my0y1=msinsin（+）=（m）sincos=sin（+），my0y1的最大值为，=，解得m=故答案为14已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，nR都满足ff（m）+f（n）=f2（m）+2n，则函数g（x）=|ff（x）4|+log3x1的零点个数为3【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理【分析】令f（m）=0得出ff（n）=2n，从而得
13、出g（x）=|2x4|+log3x1，分别作出y=1log3x和y=|2x4|的函数图象，根据函数图象的交点个数判断g（x）的零点个数【解答】解：设m为f（x）的零点，则f（m）=0，ff（n）=2n，ff（x）=2x，g（x）=|2x4|+log3x1，令g（x）=0得1log3x=|2x4|，分别作出y=1log3x和y=|2x4|的函数图象，如图所示：由图象可知y=1log3x和y=|2x4|的函数图象有3个交点，g（x）=|2x4|+log3x1有3个零点故答案为3三、解答题（本大题共6小题，共64分）15如图，在平面直角坐标系xoy中，A，B，C均为O上的点，其中A（，），C（1，0
14、），点B在第二象限（1）设COA=，求tan2的值；（2）若AOB为等边三角形，求点B的坐标【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值【分析】（1）由题意，cos=，sin=，tan=，再利用二倍角公式，即可求tan2的值；（2）利用三角函数的定义，即可求点B的坐标【解答】解：（1）由题意，cos=，sin=，tan=，tan2=；（2）AOB为正三角形，cos（+60）=，sin（+60）=，B（，）16已知函数f（x）=ax2，其中aR（1）若a=1时，求函数f（x）的零点；（2）当a0时，求证：函数f（x）在（0，+）内有且仅有一个零点【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】（1
15、）当a=1时，函数f（x）=x2，令x2=0，可得函数f（x）的零点（2）当a0时，若x0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax1=0，进而可证得f（x）在（0，+）上有唯一零点【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2，令x2=0，可得可得 x=0，或x2+2x1=0，解得 x=0，或x=1，或x=1+综上可得，当a=1时，函数f（x）的零点为 x=0，或x=1，或x=1+（2）证明：当a0时，x0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax1=0，记g（x）=ax2+2ax1，则g（x）的图象是开口朝上的抛物线，由g（0）=10得：函数g（x）在（0，+）内有且仅有一个零点函数f（x）在（
16、0，+）上有唯一零点17如图，在ABC中，已知AB=2，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且=2， =5，（1）若=+，求证：点F为DE的中点；（2）在（1）的条件下，求的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义【分析】（1）用，表示出，即可得出结论；（2）用表示出，再计算【解答】解：（1）=+，=+，又=2， =5，=+，F为DE的中点（2）由（1）可得=（），=2， =5，=（）=+=4+26cos60=18已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数f（x）=2（+），已知f（）=，（，），求sin
17、的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可（2）根据向量数量积的公式求出函数f（x）的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解【解答】解：（1）因为ab，所以cosx+sinx=0，所以tanx=故cos2xsin2x=（2）f（x）=2（+）=2sinxcosx+2（cos2x+1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，因为f（）=，所以f（）=sin（+）+=，即sin（+）=，因为（，），所以+，故cos（+）=，所以sin=sin+= sin（+）cos（
18、+）= =19如图，函数y=2cos（x+）（0，0）的图象与y轴交于点（0，），周期是（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0，时，求x0的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象【分析】（1）由图象与y轴交于点（0，），周期是可得和的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求函数图象的对称轴方程和对称中心（2）点Q（x0，y0）是PA的中点，点A（，0），利用中点坐标求出P的坐标，点P是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简，根据y0=，x0，求
19、解x0的值【解答】解：（1）由题意，周期是，即由图象与y轴交于点（0，），=2cos，可得cos=，0，=故得函数解析式f（x）=cos（2x+）由2x+=k，可得对称轴方程为：x=，（kZ）由2x+=k，可得对称中心为（，0），（kZ）（2）由题意：点Q（x0，y0）是PA的中点，点A（，0），P的坐标为（，2y0），由y0=，可得：P的坐标为（，），又点P是该函数图象上一点，=2cos2，整理可得：cos（）=，x0，故有： =或=，解得：x0=或20已知关于x的函数f（x）=x22ax+2（1）当a2时，求f（x）在，3上的最小值g（a）；（2）如果函数f（x）同时满足：函数在整个定义域
20、上是单调增函数或单调减函数；在函数的定义域内存在区间p，q，使得函数在区间p，q上的值域为p2，q2则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”（i）若关于x的函数y=+t（x1）是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由【考点】二次函数的性质【分析】（1）对于函数f（x）=x22ax+2=（xa）2+2a2，根据对称轴，分类讨论即可，（2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围（ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p
21、，q的范围，通过方程的解即可判断【解答】解：（1）函数f（x）=x22ax+2=（xa）2+2a2，其对称轴方程为x=a，当a时，f（x）在，3上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=；当a2时，f（x）在，3上的最小值为g（a）=f（a）=2a2；函数f（x）=x22ax+2在，3上的最小值g（a）=（2）（i）y=+t在1，+）递增，由闭函数的定义知，该函数在定义域1，+）内，存在区间p，q（pq），使得该函数在区间p，q上的值域为p2，q2，所以p1， ，p2，q2为方程+t=x的二实根，即方程x2（2t+1）x+t2+1=0在1，+）上存在两个不等的实根且xt恒成立，令u（x）=x2（2t+1）x+t2+1，解得t1实数t的取值范围（，1（ii）对于（1），易知g（a）在（，2上为减函数，若pq，g（a）递减，若g（a）为“闭函数”，则，两式相减得p+q=，这与pq矛盾pq2时，若g（a）为“闭函数”，则此时p2+q2=2满足条件的p，q存在，pq2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在，pq2时，若g（a）为“闭函数”，则，消去q得9p26p+1=0，即（3p1）2=0解得p=此时，q=2，且p2+q2=2p=q2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在，综上所述，当p，q满足时，g（a）为“闭函数”2017年2月28日