1、统计与统计案例 计数原理、概率、随机变量一、选择题1为了调查某县2021年高考数学成绩，在高考后对该县6 000名考生进行了抽样调查，其中2 000名文科学生，3 800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是()A系统抽样法 B分层抽样法C抽签法 D简单的随机抽样法B由于6 000名学生各个学生层次之间存在明显差别，故要采用分层抽样的方法，故选B2今年入夏以来，某市天气反复，降雨频繁在下图中统计了某个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温去年气温，单位：)，以下判断错误的是()A今年每天气温都比去年气温高B今
2、年的气温的平均值比去年低C去年811号气温持续上升D今年8号气温最低A由题图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确；除6,7号今年气温略高于去年气温外，其他日子今年气温都不高于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B正确；今年811号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年811号气温持续上升，选项C正确；由题图可知，今年8号气温最低，选项D正确故选A3(2021黑龙江铁人中学高三三模)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中，n阶幻方(n3，nN*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例
3、如“3阶幻方”的幻和为15现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则P(B|A)()A B C DD根据题意，事件A包含的基本事件有：(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)，(8,3,4)，(1,5,9)，(6,7,2)，(8,5,2)，(4,5,6)，共8个基本事件；事件AB同时发生包含的基本事件有：(3,5,7)，(1,5,9)，(8,5,2)，(4,5,6)共4个基本事件，所以P(B|A)4若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则这样
4、的“十全十美数”共有()A32个 B64个 C54个 D96个C分情况讨论：(1)这个三位数中不含0，若这个三位数中有两个重复数字，数字组合为(1,1,8)，(2,2,6)，(3,3,4)，(4,4,2)，则有“十全十美数”4C个，若这个三位数中的三个数字都不重复，数字组合为(1,2,7)，(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，则有4A个“十全十美数”；(2)这个三位数中含一个0，数字组合为(1,0,9)，(2,0,8)，(3,0,7)，(4,0,6)，(5,0,5)，则“十全十美数”有4CA218(个)根据分类加法计数原理得，“十全十美数”共有4C4A1854(个)故选C5(xy)
5、7的展开式中含x4y4项的系数为()A7 B35 C49 D56A(xy)7x(xy)7(xy)7，因为(xy)7的展开式的通项公式为Tr1Cx7ryr，所以(xy)7的展开式中含x4y4的项为xCx3y4Cx5y27x4y4，因此(xy)7的展开式中含x4y4项的系数为76(2021全国新高考卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，2)，则下列结论中不正确的是()A越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,
6、10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等D对于A，越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为10，显然B，C正确D显然错误选D7为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为OKL的面积将Gini称为基尼系数对于下列说法：Gini越小，国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为yf(x)，则对任意x(0,1)，均有1；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y
7、1(x0,1)，则Gini1其中正确的是()A B C DB对于，根据基尼系数公式Gini，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，故正确；对于，表示曲线yf(x)上的点与原点连线的斜率，由图可知对任意x(0,1)，均有01，故错误；对于，将y1化简整理，得x2(y1)21(x，y0,1)，表示圆心为(0,1)，半径为1的四分之一圆，所以a1211，S11，所以1，故正确故选B8已知函数f(x)，g(x)xcos xsin x，当x4，4且x0时，方程f(x)g(x)根的个数是()A5 B6 C7 D8D由题意得，函数f(x)在x4，4且x0上是奇函数且是反比例函数，g(x)
8、xcos xsin x在x4，4上是奇函数，因为g(x)cos xxsin xcos xxsin x，当x0，2，3时，g(x)0，当x(，2)(3，4时，g(x)0，所以g(x)在0，2，3上是减函数，在(，2)，(3，4上是增函数，且g(0)0，g()，g(2)2，g(3)3，g(4)4，所以作出函数f(x)与g(x)在4，0)与(0,4上的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)与g(x)的图象共有8个交点，所以方程f(x)g(x)有8个根，故选D二、填空题9已知样本x1，x2，x2 020的平均数与方差分别是1和4，若yiaxib(i1,2，2 020)，且样本y1，y2，y2 020的
9、平均数与方差也分别是1和4，则ab 1根据题意，得解得或所以ab110史记卷六十五：孙子吴起列传第五，是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的短处，从而在竞技中获胜的事例主要讲述了齐国的大将田忌与齐威王进行赛马比赛反败为胜的故事若田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为 设齐王的下等马，中等马，上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b1，b2，b3，
10、齐王与田忌赛马，其情况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜共6种等可能的情况其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为11在2021年高考前，某学校进行了模拟测试，理科与文科的前10名数学成绩如茎叶图所示(满分150分)若所选理科与文科成绩
11、的中位数分别为x1，x2，平均数分别为1，2，标准差分别为s1，s2，给出下列结论：x1x2；|12|1；理科这10名学生的成绩更集中；文科这10名学生的成绩更集中，其中正确结论的个数为 3条件可得x1125，x2124.5，这两组数据的平均数分别为1125.7，2124，故|12|1，数据的方差分别s199，s94，故s1s2，即文科这10名学生的成绩更集中，故正确的有，即正确结论的个数为312(2021浙江高考)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则mn ，E() 1 由题意得P(2)C36，所以mn49，
12、P(一红一黄)m3, 所以n2, 则mn1由于P(2)，P(1)，P(0)，E()210三、解答题13某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩(均为整数，满分100分)分成六段：40,50)，50,60)，90,100，由此得到部分频率分布直方图(如图)观察图中的信息，回答下列问题：(1)求分数在70,80)内的频率，并补全频率分布直方图；(2)据此估计本次考试的平均分；(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40,60)内记0分，在60,80)内记1分，在80,100内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列解(1)设分数在70,80)内的频率为
13、x根据频率分布直方图，有(0.0100.01520.0250.005)10x1，解得x0.3补全频率分布直方图略(2)抽取的60名学生的平均分为450.10550.15650.15750.3850.25950.0571据此估计本次考试的平均分为71分(3)成绩在40,60)内的有0.256015(人)，成绩在60,80)内的有0.456027(人)，成绩在80,100内的有0.36018(人)，易知X的所有可能取值是0,1,2,3,4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)所以X的分布列为X01234P14某大学举行了一次与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100
14、分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：30,40)，40,50)，90,100，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在30,40)，40,50)，50,60)上的频率分别为p1，p2，p3，且2p1p20.05，估计100名学生测试分数的平均数；(3)把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关男生女生优秀不优秀附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2解(1)设这100名学生测试分数的中位数为a，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得80a90，所以0.4(a80)0.040.5，解得a82.5(2)因为2p1p20.05，且p1p2p30.1，所以这100名学生测试分数的平均数为35p145p255(0.1p1p2)650.1750.2850.4950.25.510(2p1p2)6.515341979.5(3)列联表如下：男生女生优秀4515不优秀2515可得K21.786，所以n3的方案更好一些()n10的方案更好一些