1、立体几何中的最值、翻折、探索性问题1(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz当三棱锥MABC体积最大时，M为的
2、中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2,1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2如图，已知三棱锥PABC，其展开图如图所示，其中四边形ABCD是边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：图图(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角PBCM的余弦值解(1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO由题意，得PAPBPC，PO1
3、，AOBOCO1因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC，因为在POB中，PO1，OB1，PB，所以PO2OB2PB2，所以POOB因为ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC(2)由(1)可知POOB，POAC，OBAC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，M，所以(1，1,0)，(1,0，1)，设平面MBC的法向量为m(x1，y1，z1)，由得令x11，得y11，z13，即m(1,1,3)为平面M
4、BC的一个法向量设平面PBC的法向量为n(x2，y2，z2)，由得令x21，得y21，z21，即n(1,1,1)为平面PBC的一个法向量cosn，m由图可知，二面角PBCM为锐角，故其余弦值为3如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，BCD120，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解(1)证明：设ADCDBC1，ABCD，BCD120，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 603，AB2AC2BC2，则BCACCF平面ABCD，
5、AC平面ABCD，ACCF，而CFBCC，CF，BC平面BCF，AC平面BCFEFAC，EF平面BCF(2)以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)设n(x，y，z)为平面MAB的法向量，由 得取x1，则n(1，)易知m(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，cosn，m0，当0时，cosn，m取得最小值，当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为1(2019全国卷)图是由矩形ADEB、RtABC
6、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图图图(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的二面角BCGA的大小解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，故AB平面BCGE又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE(2)作EHBC，垂足为H因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH以
7、H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取为m(0,1,0)，所以cosn，m因此，二面角BCGA的大小为302(2021山东菏泽市高三二模)如图1所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，B90且ADBC，若AD2BC2，AB，ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图2的几何体图1图2(1)若点M是ED的中点，求证：CM平面ABE；(
8、2)若EC2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF的大小为60？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：取AE的中点为G，连接MG，BG，M是ED的中点，AD2BC，MG是ADE的中位线，MGADBC且MGBC，四边形MGBC为平行四边形，CMBG，CM平面ABE，BG平面ABE，所以CM平面ABE(2)取AD的中点为H，连接HC，HE，其中HCAB，EH1，由EC2可得HCHE，显然EH平面ABCD，故以H为坐标原点，分别以HC，HA，HE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，A(0,1,0)，D(0，1,0)，B(，1,0)，设存在点F(x，y，z)，(x，y，z1)(，1，1)x，y，z1，易知平面EAD的法向量可取(，0,0)，另外(x，y1，z)(，1,1)，(0，2,0)，设平面ADF的一个法向量为u(m，n，r)，则，可取一个法向量为u(1,0，)，则|cos，u|，F为EB的中点故存在F点为EB的中点