1、单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案:C解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案:D解析:设所求直线方
2、程为3x-4y+m=0,且m1,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条答案:C解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.(2020广东汕尾期末)记双曲线C:x216-y2m=1(m0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足
3、F1N=12F1M,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=()A.8B.9C.8或2D.9或1答案:B解析:a=4,离心率为e=ca=2,c=8.根据题意e=1+m16=2,解得m=48.|MF2|-|MF1|=2a=8,|MF2|=18或2,而|MF2|c-a=8-4,故|MF2|=18.点N满足F1N=12F1M,N为MF1的中点,O是F1F2的中点,则|ON|=12|MF2|=9.故选B.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率
4、是()A.33B.22C.14D.12答案:D解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c2.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23的直线方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=0答案:B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为2
5、2-(3)2=1.由点到直线距离公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+3.7.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案:D解析:由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则
6、p的值为()A.3B.2或4C.4D.2答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).y12=2px1,y22=2px2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),依题意x1x2,y1-y2x1-x2=2py1+y2.M为AB的中点,y1+y2=4.又Fp2,0在AB上,23-p2=2p4,解得p=2或4.故选B.9.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与直线x=a2c分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60AFB0,b0)的两条渐近线方程为y=bax,当x=a2c时,y=abc,所以不妨令Aa2c,abc,Ba2c,-abc.因为60AF
7、B90,所以33kFB1,即33abcc-a2c1,即33ab1.所以13a2c2-a21,即1e2-13,故2e0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42答案:B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0(舍去),故xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以
8、p=6.12.已知点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a0)准线的距离为4.F为抛物线的焦点,点N(1,1).当点P在直线l:x-y=2上运动时,|PN|-1|PF|的最小值为()A.3-228B.2-24C.5-228D.5-224答案:B解析:点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a0)准线的距离为4,2+14a=4,a=18,抛物线C:x2=8y,直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FAl.设AP=t,则|AN|=2,|AF|=22,|PN|=t2+2,|PF|=t2+8,设t2+2-1=m(m2-1),则|PN|-1|PF|=t2+2-1t2+8=m(m+1)2+6=171
9、m+172+67,m=2-1,即当t=0时,|PN|-1|PF|的最小值为2-24.所以B选项是正确的.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.答案:(x-1)2+y2=4解析:抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.14.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案:(1,0)解析:由题知直线l的方程为x=
10、1,则直线与抛物线的交点为(1,2a)(a0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4a=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案:y=22x解析:抛物线x2=2py(p0)的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-
11、y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=22x.16.若关于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1t4或t1;曲线C不可能是圆;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1t0,t-10,且4-tt-1,解得1t4,且t52,所以不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)4或tt-10,解得1t0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D
12、,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.解：(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k14,解得k0,所以0k0,则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.所以|OM|ON|=x1kx1+t-1x2kx2+t-1=x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=2t2-21+2k2k22t2-21+2k2+k(t-1)-4kt1+2k2+(t-1)2=21+t1-t.又|OM|ON|=2,所以21+
13、t1-t=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).21.(12分)(2020广西玉林一模)已知F(0,1)为抛物线C:y=mx2(m0)的焦点.(1)设A1m,m+1m,动点P在抛物线C上运动,证明:|PA|+|PF|6.(2)如图,直线l:y=12x+t与抛物线C交于M,N两点(M在第一象限,N在第二象限),分别过M,N作l的垂线,这两条垂线与y轴的交点分别为D,E,求|DE|的取值范围.答案：(1)证明由抛物线的方程可得焦点F的坐标为0,14m,由题意可得14m=1,即m=14,则抛物线的方程为x2=4y,点A的坐标为A(4,5),因此抛物线的准线方程为y=-1.设P到准线的距离为d
14、,由抛物线的性质可得|PF|=d,因为A到准线的距离为5+1=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+d6.过A作准线的垂线交抛物线于P,此时取等号.即|PA|+|PF|6.(2)解由x2=4y,y=12x+t,整理可得x2-2x-4t=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)(x10,x20),则x1+x2=2,x1x2=-4t0,x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=4+16t2.因为直线l的斜率为12,又DMNM,所以直线DM的斜率为-2,因此直线DM的方程为y-y1=-2(x-x1),令x=0可得yD=2x1+y1,同理可得yE=2x2+y2,因此|DE|=yD-yE=2(x1-x2
15、)+(y1-y2)=2(x1-x2)+12(x1-x2)=52(x1-x2),因为x1-x22,所以|DE|5,所以|DE|的取值范围为(5,+).22.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2
16、c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,解得m=43,即直线FP的斜率为34.由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1
17、,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.