1、直线与椭圆一、选择题1直线ykxk与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定A直线ykxk可化为yk(x1)，所以直线恒过点(1,0)，又b0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率为 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e三、解答题10设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，
2、b的值解(1)易知M，由得2b23ac，故2(a2c2)3ac，解得，2(舍去) 故椭圆的离心率为(2)由题意，原点O为F1F2的中点， MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4，即b24a由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1将及c代入得1解得a7，b24a28故a7，b211设椭圆C：1的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线l：xy10交C于A，B两点，ABF1的周长等于8(1)求C的标准方程；(2)求ABF1的面积解(1)由题意，令y0，则x1，所以F2(1,0)，即c1，又因为ABF1
3、的周长等于8，即4a8，则a2，所以b222123，故C的标准方程为1(2)联立消去x得7y26y90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以则|y1y2|，S|F1F2|y1y2|21如图，已知椭圆C：1(ab0)，斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为()A B C DB设lAB方程yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由得(a2b2)x22ma2xa2m2a2b20，又由平行四边形OAMB可知：x0x1x2，y0，故kOM，所以离心率e，故选B2已知椭圆C：x21，直线l：yxm，若椭圆
4、C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是()A BC DC设椭圆x21上存在关于直线yxm对称的两点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据对称性可知线段MN被直线yxm垂直平分，且MN的中点T(x0，y0)在直线yxm上，且kMN1，故可设直线MN的方程为yxn，联立整理可得3x22nxn220，所以x1x2，y1y22n(x1x2)2n，由4n212(n22)0，可得n，所以x0，y0，因为MN的中点T(x0，y0)在直线yxm上，所以m，m，m，故选C3已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1,0)，且经过点E(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两
5、点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆C的标准方程为1(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，则1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k1已知直线xmy2(mR)与椭圆1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ；若|AB|，则实数m的值是 1易知直线xmy2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长，联立，消去x得，(5m29)y220my250
6、，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，则|AB|，解得m12已知椭圆C：1(ab0)过点P(2，)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，1)的直线l交椭圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以ab所以椭圆C的方程为1又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b3所以a3故所求椭圆方程为1(2)由已知动直线l过(0，1)点当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2(y1)2
7、16；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2y29所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)当l与x轴不垂直时，设l：ykx1由得(2k21)x24kx160由(0，1)在椭圆内部知0成立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2又(x1，y13)，(x2，y23)，所以x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)4k160所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)所以存在一个定点T(0,3)满足条件