1、第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的均值与方差(1)均值 若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为Ex1p1x2p2xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差 如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么D()(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做的方差随机变量的方差与
2、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(标准差与随机变量本身有相同的单位)(3)若服从二项分布，即B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)两点分布，则Ep，Dp(1p)D()的算术平方根 D叫做随机变量 的标准差，记作 2均值、方差的性质及应用(1)ECC(C为常数)；(2)E(ab)aEb(a、b为常数)；(3)D(ab)a2D.3正态分布(1)函数，(x)12ex222，x(，)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，其中实数，(0)为参数如果对于任何实数 ab，随机变量 X 满足 P(aXb)ab，(x)dx，称 x 的分布为正态分布，记为 N(，2)，若随机变量 X
3、服从正态分布，可记为 XN(，2)(2)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生1设随机变量B(n，p)，且E1.6，D1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32Dn7，p0.45解析：由已知np1.6，np1p1.28，解得n8，p0.2.答案：A 2如果是离散型随机变量，32，那么()AE3E2，D9DBE3E，D3D2CE3E2，D9E4DE3E4，D3D2答案：A解析：E2，E(21)2E1 5.答案：D3若随机变量 的概率分布密度函数是，(x)122ex228，xR，则 E(
4、21)的值等于()A3 B4C4 D54一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望_解析：随机变量 的取值为 0,1,2,4，P(0)34，P(1)19，P(2)19，P(4)136，因此 E49.答案：495随机变量 的分布如下：101Pabc其 a，b，c 成等差数列若 E13，则 D 的值是_解析：根据已知条件：abc12bacac13，解得：b13，a16，c12，D16(113)213(013)212(113)259.答案：59热点之一 求离散型随机变量的期望与方差 求离散型随机变量X的均值与方差
5、的步骤：1理解X的意义，写出Y的所有可能取值；2求X取每个值的概率；3写出X的分布列；4由均值的定义求EX；5由方差的定义求DX.例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E1，D11，试求a，b的值课堂记录(1)的分布列为01234P1212011032015(2)由Da2D，得a22.7511，即a2.又EaEb，E0121 1202 1103 3204151.5，D(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2
6、152.75.当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.a2b2 或a2b4即为所求思维拓展 在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征，正确求出分布列，这是求均值和方差的前提，然后准确应用公式，特别是充分利用期望和方差的性质解题，善于使用公式E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度即时训练某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲
7、，乙摸球后获得的奖金总额求：(1)X的概率分布；(2)X的数学期望解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60，P(X0)(910)3 7291000；P(X10)110(910)2 910 18102 2431000；P(X20)110 18102 181000；P(X50)910 1102 91000；P(X60)1103 11000；X 的概率分布为(2)EX0 729100010 243100020 18
8、100050 9100060 110003.3(元)热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算常用性质有：(1)ECC(C为常数)；(2)E(aXb)aEXb(a，b为常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；例 2 设随机变量 具有分布 P(k)15，k1,2,3,4,5，求 E(2)2，D(21)，(1)课堂记录 E115215315415515155 3.E2115221532154215521511.D(13)215(23)215(33)215(43)215(53)2152.E(2)2E24E41112427，
9、思维拓展 1.要掌握简单的方差与期望计算2公式运用要严密准确D(21)4D428，D(1)D2.(1)2.即时训练如果X是离散型随机变量，EX6，DX0.5，X12X5，那么EX1和DX1分别是()A12,1 B7,1 C12,2 D7,2解析：因为E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，由已知可得EX17，DX12，应选D.答案：D 热点之三 与二项分布有关的期望与方差 当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.例 3 某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有 5 个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为23，且每个问题的解答互不影响(1)求该
10、同学答对问题的个数 的期望与方差；(2)设答对一个题目得 10 分，否则扣一分，求该同学得分 的期望与方差思路探究 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验，答对问题的个数服从二项分布，求的期望与方差可通过与的线性关系间接求出课堂记录(1)由题意知，解答这 5 个问题，答对的个数 服从二项分布，即 B(5，23)，由二项分布的期望与方差的公式有Enp523103，Dnpq523(123)109.思维拓展(1)当求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量(2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望与方差(2)该同学的得分，10(5)(
11、1)115，得分 的期望为 EE(115)11E511103 5953，方差 DD(115)112D121109 12109.即时训练 某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差解：(1)投篮一次，命中次数 x 的分布列为则 E(X)p0.6，D(X)p(1p)0.24.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 服从二项分布，即 B(5,0.6)，则 E()np50.63，D()np(1p)1.2.X01P0.40.62要记住正态变量的取值位于三个区间内的概率值在求解实际问题时，先求出正态分布的两个重要参数和的值，然后
12、结合三个区间对应的概率值进行解答热点之四 正态分布及应用1我们把函数，(x)12exu222，x(，)的图象叫正态曲线，这里的参数 和 就是正态分布随机变量的均值和标准差正态曲线的特点包括图象与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置与大小，正态曲线与坐标横轴围成的面积等例 4 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概率思路探究 已知函数为偶函数 确定 根据函数的最大值 确定概率P课堂记录(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 0.由12124，得
13、4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)14 2ex232，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.6826.即时训练把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是()A曲线C2仍是正态曲线B曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2答案：C解析：正态密度函数为 f(x)12ex222，正态曲线对称轴为 x，曲线最高点的纵坐标为 f()12.所以曲线 C1 向右平移 2 个单位后，曲
14、线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标 f()没变，从而 没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即 变了，因为曲线向右平移 2 个单位，所以期望值 增大了 2.所以选择 C.本节是理科高考中的重点内容之一，题型以解答题为主，考查随机变量的概率、分布列、期望和方差等，大多以实际问题为背景，涉及排列组合、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、条件概率等，考查利用所学知识解决实际问题的能力例5(2010全国)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少
15、有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率；(3)表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望解 记Ai表示事件：电流能通过Ti，i1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流B表示事件：电流能在M与N之间通过(1)A1，A2，A3，A1，A2，A3 相互独立，P(A)P(A1 A2 A3)P(A1)P(A2)P(A3)(1p)3.又 P(A)1P(A)10.9990.001，故(1p)30.001，p0.9.(2)BA4 A4 A1A3 A4 A1 A2A3，P(B)P(A4 A4 A1A3 A4 A1 A2A3)
16、P(A4)P(A4)P(A1)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.9891.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，B(4,0.9)，E40.93.6.1(2010课标全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400解析：EX10000.9010000.12200.答案：B2(2010湖北高考)某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望E8.9，则y的值为_78910Px0.10.3y解析：由题意得x0.10.3y17x0.180.3910y8.9 x0.2，y0.4.答案：0.4