1、第5讲 空间向量的坐标运算一、选择题1(2010原创题)若平面、的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确解析：由已知：n1与n2既不平行也不垂直，平面、相交但不垂直答案：C2已知(2,4,5)，(3，x，y)，若，则()A. x6，y15 Bx3，y Cx3，y15 Dx6，y解析：，x6，y.答案：D3(2009四川宜宾模拟)若向量a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b，则等于()A2 B2 C2或 D2或解析：|a|，|b|3，ab6，根据已知条件，解得2，或.答案：C4(2010河北邢台模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B
2、1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：分别以C1B、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，C1D1是平面BBC1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B二、填空题5(2010贵州贵阳调研)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是_解析：kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2),2ab2(1,1,0)(1,0
3、,2)(3,2，2)两向量垂直，3(k1)2k220.k.答案：6已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|且0，则_.解析：ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|.且0，解得3.答案：3 7若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.解析：，由a0，a0，得即xyzyy23(4)答案：23(4)三、解答题8已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)设棱长为1，则A(1,0,0)，设平面
4、AMN的法向量n=(x，y，z)令y=2，x=-3，z=-4.n=(-3,2，-4)(-3,2，-4)为平面AMN的一个法向量9(2009陕西汉中调研)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0,1).又点A、M的坐标分别是NE=AM且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，同理.又DFBF=F，AM平面BDF.10(2010山西阳泉调研)在
5、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面ADE.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1(x1，y1，z1)(2,0,0)0，n1(x1，y1，z1)(2,2,1)0，2x10,2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2)，同理可得平面A1FD1的法向量n2(0,2,1)n1n20，n1n2，平面AED平面
6、A1FD1.(2)解：由于点M在直线AE上，设(0,2,1)(0,2，)可得M(2,2，)，(0,2，2)，ADA1M，要使A1M平面ADE，只需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，解得.故当时，A1M平面ADE.1()如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF是A1D，AC的公垂线CEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.答案：B2(2010创新题)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，在面ABCD中取一点F，使最小，则最小值为_解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则E(2,1,1)，C1(0,2,2)，由点E(2,1,1)关于平面ABCD对称点E(2,1，-1)连EC1，与面ABCD的交点为F，且=(-2,1,3)，则答案：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
