1、第七节 离散型随机变量及其分布列1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性2通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母表示所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量X、Y、一一列出2离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipnP(Xxi)p
2、i，i1,2，n3离散型随机变量分布列的性质(1)；(2)(3)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率pi0，i1,2，n之和ni1pi14常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X的分布列是，则这样的分布列称为两点分布列如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从，而称为成功概率X01P1pp两点分布pP(X1)(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件Xk发生的概率为，其中m，且，称分布列P(Xk)CMkCNMnkCNn，k0,1,2，m，minM，nnN，MN，n，M，NN*X01mP CM0CNM
3、n0CNnCM1CNMn1CNn CMmCNMnmCNn为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布1抛掷2颗骰子，所得点数之和记为，那么4表示的随机试验结果是()A2颗都是4点B1颗是1点，另1颗是3点C2颗都是2点D1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析：“4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或2颗都是2点”答案：D2设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是_解析：此分布列为两点分布列，根据两点分布列的定义来求答案：X01P0.70.33.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所
4、选3人中女生人数不超过1人的概率是_解析：设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，其中 N6，M2，n3，则P(x1)P(x0)P(x1)C20C43C63 C21C42C63 45.答案：454随机变量 的分布列 P(k)a(23)k，k1,2,3，则 a 的值为_解析：由 P(k)1，即 a23(23)2(23)31.a231231，解得 a12.答案：125连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为34，则射击次数为 3 的概率为_解析：“3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件，则 P(3)141434 364.答案：364 热点之一 离散型随机变量分布列
5、的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)pi0，i1,2，n；(2)ni1pi1.利用分布列的性质可以求分布列中参数的值对于随机变量的函数的分布列，可以按分布列的定义来求例 1 设 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为 的概率分布列的一组数是()A0,0,0,1,0B0.1,0.2,0.3,0.4CP,1P(P 为实数)D.112，123，1n1n，1n(nN*)思路探究 随机变量的分布列具有两个性质：(1)非负性；(2)概率之和为1，可利用这两条性质解决课堂记录 A、B 显然满足性质，适合D 中有 112 1231n1n1n1121213 1n11n1n1.又1n
6、1n(0,1)且1n(0,1)，nN*，满足分布列性质C 中，由于 P 为实数，不妨取 P3，显然 1P20，不满足非负性，不满足分布列的性质故选 C.即时训练设随机变量 的分布列为 P(k)k15，k1、2、3、4、5，则 P1252()A.12 B.19 C.16 D.15解析：P1252 P(1)P(2)115 21515.故选 D.答案：D 热点之二 离散型随机变量分布列的求法 关于离散型随机变量概率分布的计算方法如下：(1)写出X的所有可能取值；(2)利用随机事件概率的计算方法，求出X取各个值的概率；(3)利用(1)，(2)的结果写出X的概率分布列例2 某车间甲组有10名工人，其中有
7、4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列思路探究(1)抽取比例是15，根据分层抽样的等比例性求解；(2)根据从甲组抽取的人数，通过组合计数和等可能性事件的概率公式计算；(3)确定的所有可能，根据取各个值的意义，通过组合计数和等可能性事件的概率计算其概率即可解决课堂记录(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从
8、甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人(2)记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 P(A)C41C61C102 815.(3)的可能取值为 0,1,2,3.Ai 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i0,1,2.B 表示事件：从乙组抽取的是 1 名男工人Ai 与 B 独立，i0,1,2.P(0)P(A0 B)P(A0)P(B)C42C102C31C51 675，P(1)P(A0BA1 B)P(A0)P(B)P(A1)P(B)C42C102C21C51C61C41C102 C31C512875，P(3)P(A2B)P(A2)P(B)C62C102C21C51
9、1075，P(2)1P(0)P(1)P(3)3175.故 的分布列为0123P675287531751075即时训练一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望解：依题意，可取 5,6,7,8,9,10,11，则有P(5)144 116，P(6)216，P(7)316，P(8)416，P(9)316，P(10)216，P(11)116.的分布列为567891011P11621
10、6316416316216116E5 1166 2167 3168 4169 31610 21611 1168.热点之三 超几何分布问题 超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数如果一随机变量 服从超几何分布，那么事件k发生的概率为 P(k)CMkCNMnkCNn，k0,1,2，m，nminM，n特别警示：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数例3 某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人
11、数，求X的分布列课堂记录 依题意随机变量 X 服从超几何分布，所以 P(Xk)C6kC44kC104(k0,1,2,3,4)P(X0)C60C44C104 1210，P(X1)C61C43C104 435，P(X2)C62C42C104 37，P(X3)C63C41C104 821，P(X4)C64C40C104 114.X 的分布列为即时训练生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？解：从50箱的一批产品中随机抽取5箱，用Z表示“5箱产品中不合格的箱数”，
12、则Z服从超几何分布，由题意得，该批产品被接收的概率为：P(Z1)P(Z0)P(Z1)C20C485C505 C21C484C505 243245，即该批产品被接收的概率是243245.随机事件的概率计算与离散型随机变量的分布列的求法一直是近年各地命题的热点，一般都以解答题形式出现，属中档题，由于运算量大，故本题型解答时要注意审题，同时运算时要细心，对运算结果要用性质检查例4(2010福建高考)设S是不等式x2x60的解集，整数m，nS.(1)记“使得mn0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设m2，求的分布列及其数学期望E.分析 解题思路是先解一元二次不等式，再在
13、此条件下求出所有的整数解解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换解(1)由x2x60得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，A包含的基本事件为：(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于 m 的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，m2 的所有不同取值为 0,1,4,9.且有 P(0)16，P(1)2613，P(4)2613，P(9)16.故 的分布列为0149P16131316E016113413916196.1(2010江苏高考)某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品，一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，
14、二等品10%.生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元设生产各种产品相互独立(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，3，且P(X10)0.80.90.72，P(X5)0.20.90.18，P(X2)0.80.10.08，P(X3)0.20.10.02，由此得X的分布列为X32510P0.020.080.180.72(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件，则二等品有(4n)件由题设知 4n(4n)10，解得 n145，n3 或 4，故所求概率为 C440.84C430.830.20.8192.