1、考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1（2011安徽高考文科10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，则，由=0可知，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得最大值，由知存在.2.（2011辽宁高考理科11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，则f（x）2x+4的解集为（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性
2、问题即可求解【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，选B.3（2011安徽高考理科10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（A） (B) (C) (D) 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B.函数的导数则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011广东高考理科12）函数在 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻.【精讲精析
3、】答案：2由解得或，列表如下：02+-+增极大值减极小值增当时，取得极小值.5（2011辽宁高考文科16）已知函数有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性结合图象找条件本题只要使的最小值不大于零即可【精讲精析】选A，=由得，由得，在处取得最小值只要即可，的取值范围是6.（2011江苏高考12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。【精讲精析
4、】答案：设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，。三、解答题7（2011安徽高考理科16）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.【思路点拨】（）直接利用导数公式求导，求极值. （）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，（）当令，则.解得，列表得x+0-0+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点.（）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0,知在R上恒成立，因此由此并结合a0,知.8.（2011福建卷理科18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足
5、关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（I）求a的值。（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值;（2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本) 销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（I）因为时，所以所以.（II）由（1）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润40单调递增极大值42单调递减从而于是，当变化时，的变化情况如下表，由上
6、表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.9.（2011福建卷文科22）已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828是自然对数的底数）.（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=f（x）（x，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.【思路点拨】(1) ;(2)对函数求导得导函数，由导函数得单
7、调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断的单调性和极值、最值情况，再结合的草图即可探究出是否存在满足题意的.【精讲精析】(1)由得（2）由（1）可得从而因为故： 当时，由得；由得； 当时，由得；由得.综上，当时，函数的递增区间为（0,1），单调递减区间为.当a0时，函数f（x）的递增区间为（1，+），单调递减区间为（0,1）.(3)当时，由（2）可得，当在区间上变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增又，所以函数的值域为.据此可得，若则对每一个直线与曲线都有公共点；并且对每一个，直线与曲线都没有公共点.综上，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线与曲线 都有公共点.10（2
8、011江苏高考17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设。（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确的列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解。
9、【精讲精析】设包装盒的高为，底面边长为由已知得。（1），所以当时，S取得最大值。（2）。由得，(舍)或。当时；当时，所以当时取得极大值，也是最大值,此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。11.（2011江苏高考19）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数和在区间上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。【精讲精析】解
10、法一：。（1）由题意得，在上恒成立。因为，故，进而，即在区间上恒成立，所以，因此的取值范围是。（2）令，解得，若，由得，又因为，所以函数和在上不是单调性一致的。因此。现设。当时，；当时，。因此，当时，故由题设得且，从而，于是，因此，且当时等号成立。又当时，),从而当时，,故函数和在上单调性一致的。因此的最大值为.解法二：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性
11、一致，所以，即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：综上可知，。12. （2011新课标全国高考理科21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.【思路点拨】第（1）问，对函数求导得，对应为切线的斜率，切点即在切线上又在原函数上，利用上述关系，建立方程组，求得的值；第（2）问，首先化简函数式，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论.【精讲精析】（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（）由（）知，所以.考虑函数，则.(i)设，由知，当时，h(x)递减.而，故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x
12、）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0可得,x h(x)3,所以c-20,所以令得: ; 令得:,（1）当时，即时，函数y在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2.（2）当时，即时，函数y在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时.18.（2011辽宁高考理科21）(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a0，证明：当0x时，f（+x）f（x）；（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两
13、点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（ x0）0.【思路点拨】(I)要先考虑定义域，再求导数，然后对进行讨论，从而所求函数的单调性；（II）可先构造函函数，将所证结论转化为证明恒成立，再对求导，利用单调性可解决问题；（III）先设A（，），B（，），结合() 可知且先增后减，利用（）的结论，可证 ，从而，确定的取值范围，最后利用()的结论得证【精讲精析】()的定义域为，.（）若，则，所以在单调递增.（）若，则由得，且当时，当时， ，所以在单调递增，在单调递减. 4分（）设函数，则，.当时，而，所以.故当时，. 8分（）由()可得，当时，函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故，从而
14、的最大值为，且不妨设A（，），B（，），则，由（）得从而，于是 由()知， 12分19（2011北京高考理科T18）(13分)已知函数.（I）求的单调区间； （II）若对于任意的，都有，求k的取值范围.【思路点拨】求导后，分k0与k0时，f(x)与的情况如下：-0+0-0所以的单调增区间是和；单调减区间是.当时，与的情况如下：+0-0+0所以的单调减区间是和；单调增区间是.（）当时，因为，所以不会有，.当时，由（1）知在上的最大值是.所以等价于，解得.故当，时，k的取值范围是.20（2011北京高考文科T18）(13分)已知函数.（）求的单调区间；（）求在区间上的最小值.【思路点拨】（）先求出
15、的导数，然后根据导数的性质得出单调区间；（）根据单调性求出0,1值域，通过值域得出最小值.【精讲精析】（）.令，得，与的情况如下：-0+所以的单调递减区间是；单调递增区间是.（）当，即时，函数在上单调递增，所以在区间上的最小值为；当，即时，由（）知在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为.当，即时，函数在上单调递减，所以在区间上的最小值为.21（2011湖南高考文科T22）（本小题满分13分）设函数（）讨论f(x)的单调性；（）若f(x)有两个极值点，记过点的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题主要考查导数的运算、
16、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用分类讨论思想、函数和方程相互转化的思想分析解决温问题的能力.【精讲精析】（I）的定义域为 令(1) 当故上单调递增(2) 当的两根都小于0，在上，故上单调递增(3) 当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得22.（2011江西高考理科19）设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围.（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值.【思路点拨】（1）要使在上存在单调递增区间
17、，需在上恒大于零，即得a的取值范围.（2）首先求出在上的最小值为f(4),从而求出a的值，进一步易求在该区间上的最大值为f(2).【精讲精析】23.（2011江西高考文科20）设.（1）如果在处取得最小值，求的解析式；（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值(注：区间的长度为）【思路点拨】（1）先将函数g(x)配方，结合二次函数的图像特点，可得参数m,n.（2）先根据f(x)存在单调递减区间，得出，进而根据得到，又因为单调递减区间的长度为，结合m+n10,经过讨论可得，m,n的值。【精讲精析】解：（1）已知，又在处取极值，则，又因为在处取最小值-5，则（2）要使单调递减，则又因为
18、递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又因为b-a为正整数，且m+n10,所以m=2，n=3或，符合。24（2011陕西高考理科T19）（本小题满分12分）如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；，记点的坐标为（）（）试求与的关系（）；（）求【思路点拨】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标； （2）尝试求出通项的表达式，然后再求和【精讲精析】（）设点的坐标是，在点处的切线方程是，令，则（）（），于是有，即25（2011陕西高考理科T21）（本小题满分14
19、分）设函数定义在上，导函数，（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【思路点拨】（）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【精讲精析】（），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值
20、是（），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二 假设存在，使对任意成立，由（）知，的最小值是，又因为，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立26.（2011陕西高考文科T21）（本小题满分14分）设，（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）求的取值范围，使得对任意0成立【思路点拨】（）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），
21、并求出最小值；（）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（）对任意0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题【精讲精析】（）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为()设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即（）由（）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得27（2011.天津高考理科.T19.）已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）
22、若存在均属于区间的，且，使，证明【思路点拨】（1）由导数求单调区间；（2）设函数，任取，利用函数f(x)的单调性证明在；（3） 利用（1）的结论，寻找的不等关系分离出。【精讲精析】 （I）【解析】， 令当x变化时，的变化情况如下表：+0-极大值 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是（II）证明：当 由（I）知在（0，2）内单调递增， 在内单调递减.。令由于在（0，2）内单调递增，故取所以存在即存在（说明：的取法不唯一，只要满足即可）（III）证明：由及（I）的结论知，从而上的最小值为又由，知故从而28.（2011浙江高考理科22）（本题满分14分）设函数，R（）若为的极值点，求实数；（）求实
23、数的取值范围，使得对任意的（0,3，恒有4成立注：为自然对数的底数【思路点拨】（）利用是极值点的必要条件，注意解出值要进行检验；（）恒成立问题，时显然满足题意，时只需4此题主要考查了函数极值的概念、导数的基本运算、导数的应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析解决问题的能力.【精讲精析】（）解：求导得 =2(-a)+=()(2ln x+1-). 因为x=e是f(x)的极值点，所以= ，解得 或，经检验，符合题意，所以 或。（）解：当时，对于任意的实数,恒有成立， 当，由题意，首先有， 解得 由（）知， 令 ，则， 且 =。 又在（0，+）内单调递增，所以函数在（0，+）内有
24、唯一零点，记此零点为，则，。 从而，当时，；当时，；当时，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要 成立。，知 （3）将（3）代入（1）得，又，注意到函数在1,+)内单调递增，故。再由（3）以及函数2xlnx+x在（1, +)内单调递增，可得。由（2）解得，。所以综上，的取值范围为.29.（2011浙江高考文科21）(本题满分15分)设函数（）求的单调区间（）求所有的实数，使对恒成立.注：为自然对数的底数.【思路点拨】（1）题中直接由导数的正负来确定其单调区间；（2）题中为不等式恒成立问题，只需【精讲精析】(）解：因为，其中， 所以. 由于，所以的增区间为（0，）,减
25、区间为（,+）（）证明：由题意得， ，即 由（）知在1,e内单调递增， 要使对恒成立， 只要 解得30.（2011天津高考文科T19.）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的在区间内均存在零点【思路点拨】（1）由导数的几何意义求切线方程；（2） 利用导数研究函数的单调性；（3） 对分区间讨论函数零点.【精讲精析】 （）【解析】当时，所以曲线在点处的切线方程为（）【解析】，令，解得因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.（2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是（）证明：由（）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当时，在（0，1）内单调递减，所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.若所以内存在零点.所以内存在零点.所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点.（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若若 所以内存在零点。若.所以内存在零点。所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )