1、导数的概念及运算一、选择题1下列求导运算正确的是()A1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin xBx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，故选项B正确2已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()A B C D2C因为f(x)f(1)2xln 22x，所以f(1)f(1)2ln 22，解得f(1)，所以f(x)2xln 22x，所以f(2)22ln 2223某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)104.9t28t(高度单位：米，时间
2、单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A9.1米/秒 B6.75米/秒C3.1米/秒 D2.75米/秒C因为函数关系式是h(t)104.9t28t，所以h(t)9.8t8，所以在t0.5秒的瞬时速度为9.80.583.1(米/秒)4若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在x0处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2C由题意得f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0又f(0)g(0)，即a1，ab15(2021江西南昌市高三期末)已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)，则函数在x1处的切线方程是()A2xy10 Bx2y20
3、C2xy10 Dx2y20A设x0，所以f(x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)，所以f(1)2，f(1)1，所以函数在x1处的切线方程是2xy106直线ykx1是曲线y1ln x的一条切线，则实数k的值为()Ae Be2 C1 De1A设切点为(x0,1ln x0)，由y1ln x，得y，则y|，则曲线在切点处的切线方程为y1ln x0(xx0)，由已知可得，切线过定点(0，1)，代入切线方程可得：2ln x01，解得x0，则ke二、填空题7(2021南通市高三模拟)设曲线yf(x)在x0处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个f(x)_exC，C为任意常数(或ln
4、(x1)C，ax3bx2xd，sin xC等)根据题意，构造指数型函数，设f(x)exC，所以f(x)ex，显然满足f(0)e01故答案可以为：exC，C为任意常数(答案不唯一)8(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_y2x设切点坐标为(x0，ln x0x01)由题意得y1，则该切线的斜率k12，解得x01，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y22(x1)，即y2x9(2021南通市高三二模)已知函数f(x)2x2xln x在点(1,2)处的切线方程为xmyt0，则t_f(x)2x2xln x，f(x)4xln x1，f(1)3，3，即m，又(1
5、,2)为切点，12t0，解得t三、解答题10已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，故的取值范围为11已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解
6、得b0，a3或a1(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a所以a的取值范围为1(2021江苏盐城市高三三模)韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的3个实数根为x1，x2，x3，则x1x2x3，x1x2x2x3x3x1，x1x2x3已知函数f(x)2x3x1，直线l与f(x)的图象相切于点P(x1，f(x1)，且交f(x)的图象于另一点Q(x2，f(x2)，则()A2x1x20
7、 B2x1x210C2x1x210 D2x1x20Df(x)6x21，kf(x1)6x1，又直线过点Q(x2，f(x2)，k2(xx1x2x)1，2(xx1x2x)16x1，化简得xx1x22x0，即(x22x1)(x2x1)0，x1x2，x22x10，故选D2(2021舒城中学高三三模)若函数f(x)ln xx与g(x)的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y2x1平行，则实数m()A B C DA设函数f(x)ln xx图象上切点为(x0，y0)，因为f(x)1，所以f(x0)12，得x01, 所以y0f(x0)f(1)1，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，设函数g(x)的图象上
8、的切点为(x1，y1)(x11)，因为g(x)，所以g(x1)2，即m2x4x14，又y12x11g(x1)，即m2x5x11，所以2x4x142x5x11，即4x9x150，解得x1或x11(舍)，所以m2443已知函数f(x)x3x16(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)若曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)因为f(x)3x21，所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13所以所求的切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016又因为直线l过点(0,0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，直线l的斜率k3(2)2113所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，所以切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18，即y4x18或y4x14