1、基本不等式一、选择题1下列不等式证明过程正确的是()若a，bR，则22；若x1，y1，则lg xlg y2；若x0，则x24；若x0，则2x2x22A B C DD错误，a，b不满足同号，故不能用基本不等式；正确，lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式；错误，x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；正确，2x和2x都是正实数，故2x2x22成立，当且仅当2x2x相等时(即x0时)，等号成立，故选D2已知正数a，b满足a2b213，则a的最大值为()A6 B8 C4 D16Ba2b213，a8，当且仅当a时等号成立，a的最大值为83(2021济宁市高三月考)若a0，b0,3a2b6，
2、则的最小值为()A6 B5 C4 D3C若a0，b0,3a2b6，则(3a2b)4，当且仅当3a2b3时，取等号，则的最小值为44已知向量m(1，a)，n(2b1,3)(a0，b0)，若mn1，则的最小值为()A7 B2C74 D4B因为向量m(1，a)，n(2b1,3)(a0，b0)，若mn1，则2b13a1，即ab1，因此222，当且仅当，即ba时，等号成立；故选B5若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BQPRCPQR DPRQCab1，lg alg b0，(lg alg b)，即QP，lglg(lg alg b)Q，即RQ，PQR6某车间分批生产某种产品，每批的
3、生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件B若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号二、填空题7(2021上饶市高三一模)已知a0，b0且a3b1，则2a8b的最小值为_2由基本不等式可得2a8b2a23b222，当且仅当a3b时，等号成立，因此，2a8b的最小值为28已知关于x的不等式ax22x3a0在(0,2上有解，则实数a的取值范围为_由x(0,2，ax22x3a0
4、，可得：a，令y，当x0时，y0，当x0时，y，当且仅当x时取等号，所以a0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为181若实数a，b满足，则ab的最小值为()A B2 C2 D4C由题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时等号成立，即ab2，故选C2已知x1，且xy1，则x的最小值是_3x1且xy1，yx10xx(x1)1213(当
5、且仅当x2时取等号，此时y1)x的最小值为33经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759当x80,120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210因为910，所以当x65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时
6、耗油量最少(2)设总耗油量为l L，由题意可知ly当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16当x80,120时，ly2为减函数，所以当x120时，l取得最小值，最小值为10因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少1(2020江苏高考)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_法一：由5x2y2y41，得x2由x20，得y2(0,1，则x2y2y22，当且仅当4y2，即y2，x2时等号成立，因此x2y2的最小值为法二：4(5x2y2)4y2(x2y2)2，即(x2y2)24，即(x2y2)2，所以x2y2，当且仅当5x2y24
7、y22，即y2，x2时等号成立因此x2y2的最小值为2为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3x6)(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围解(1)设甲工程队的总造价为y元，则y314 4001 80014 400(3x6)，1 80014 4001 800214 40028 800当且仅当x，即x4时等号成立即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28 800元(2)由题意可得，1 80014 400，对任意的x3,6恒成立即，从而a恒成立，令x1t，t6，t4,7，又yt6在t4,7为单调增函数，故ymin12.25所以0a12.25
