1、基本不等式一、选择题1下列不等式证明过程正确的是()若a，bR，则22；若x1，y1，则lg xlg y2；若x0，则x24；若x0，则2x2x22ABCDD错误，a，b不满足同号，故不能用基本不等式；正确，lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式；错误，x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；正确，2x和2x都是正实数，故2x2x22成立，当且仅当2x2x相等时(即x0时)，等号成立，故选D2若a，b都是正数，则的最小值为()A7B8C9D10Ca，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号故的最小值为93已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()ABCDB由0x1知3
2、x0，33x0，则x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时等号成立，故选B4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()AB4CD5C由a0，b0，ab2知(ab)，当且仅当，即b2a时等号成立，故选C5若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQBQPRCPQRDPRQCab1，lg alg b0，(lg alg b)，即QP，lglg(lg alg b)Q，即RQ，PQR6(2021福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应
3、生产产品()A60件B80件C100件D120件B若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号二、填空题7已知函数yx(x2)的最小值为6，则正数m的值为_4x2，x20，yxx222222，当且仅当x2，即x2时等号成立由题意知226，解得m48(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_由题知a3b6，因为2a0，8b0，所以2a22，当且仅当2a，即a3b，a3，b1时取等号9(2021扬州模拟)已知正数a，b满足ab1，则的最小值为_22a0，b0，且ab1，22222当且仅当即a1，b2时等号成立因
4、此的最小值为22三、解答题10(2021贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式2(1)求xy的最小值；(2)若3xym2m恒成立，求实数m的取值范围解(1)22，即xy3，当且仅当x1，y3时等号成立，所以xy的最小值为3(2)3xy(3xy)6，当且仅当x1，y3时等号成立，即(3xy)min6，所以m2m6，所以2m311已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18当且仅当x12且y
5、6时等号成立，所以xy的最小值为181正实数a，b满足a3b60，则的最小值为()AB1C2DB由a3b60得(a1)3b29，(a1)(3b2)1，当且仅当即a2，b时等号成立，故选B2已知x1，且xy1，则x的最小值是_3x1且xy1，yx10xx(x1)1213(当且仅当x2时取等号，此时y1)x的最小值为33经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x
6、50，80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759当x80，120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210因为910，所以当x65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为l L，由题意可知ly当x50，80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16当x80，120时，ly2为减函数，所以当x120时，l取得最小值，最小值为10因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少1(2020江苏高考)已知5x2y2y41(x，yR)，则x
7、2y2的最小值是_法一：由5x2y2y41，得x2由x20，得y2(0，1，则x2y2y22，当且仅当4y2，即y2，x2时等号成立，因此x2y2的最小值为法二：4(5x2y2)4y2(x2y2)2，即(x2y2)24，即(x2y2)2，所以x2y2，当且仅当5x2y24y22，即y2，x2时等号成立因此x2y2的最小值为2为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，
8、左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3x6)(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围解(1)设甲工程队的总造价为y元，则y314 4001 80014 400(3x6)，1 80014 4001 800214 40028 800当且仅当x，即x4时等号成立即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28 800元(2)由题意可得，1 80014 400，对任意的x3，6恒成立即，从而a恒成立，令x1t，t6，t4，7，又yt6在t4，7为单调增函数，故ymin12.25所以0a12.25