1、海南中学2023届高三年级数学第七次月考试题（满分：150分； 考试时间：120分钟）一单项选择题 二多项选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BADCAABBABACBCDABD三填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13； 1415； 16四解答题（本题共6小题，70分.解答应写出文字说明证明过程或步骤） 17.（本小题满分10分）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)，求面积的最大值.【详解】（1）解：由正弦定理可得，因为，所以，即，整理得：，因为，所以，所以，因为，所以. 5分（2）在中，由余弦定理得：，即.整理得，当且仅当时，等号成立，所
2、以，因为，所以，所以ABC面积的最大值为. 10分18.（本小题满分12分）已知为数列的前项和，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【详解】（1）解：因为，故，所以，故数列是常数列，所以，故. 6分（2）解：知，故，对任意的，所以，即为数列的前项和，因为，故数列为等差数列，所以. 12分19.（本小题满分12分）如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，分别是，的中点.(1)求证:平面；(2)再从条件，条件两个中选择一个作为已知条件，求平面与平面夹角的余弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【详解】（1）取中点，连接，,因为为中点，所以有且
3、,因为，所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面，平面，所以平面. 5分（2）选择条件：因为平面平面，为矩形,平面平面平面,所以平面,平面,所以,又因为，由（1）可知，平面，所以，又因为，平面，所以平面,平面,所以,平面,故平面,以A为原点，以，分别为轴、轴、轴建立坐标系，则，,则，设平面的法向量，则，令，则，因为平面，故可作为平面的法向量，则平面与平面夹角的余弦值. 12分选择条件：.因为平面平面，为矩形,平面平面平面,所以平面,所以,又因为，取中点为，连接，则有，, 所以,所以,则,所以,平面,故平面,以A为原点，以，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，,则，设平面的法向量，则
4、，令，则，因为平面，故可作为平面的法向量，则平面与平面夹角的余弦值. 12分20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点(1)若直线过左焦点，求的周长；(2)若直线过点，求的取值范围；【详解】（1）由题意知，所以，的周长为； 4分（2）设，当直线斜率不存在时，直线方程为，代入中，得：，当直线斜率为0时，所以；当直线斜率不为0时，设，由得，所以，又，所以，综上，的取值范围是. 12分21.（本小题满分12分）玩具柜台五一前夕促销，在4月30日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶,中的一个.
5、(1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.求；若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出100
6、0个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元？【详解】（1）由题意，. 4分（2）由题意可知：. 6分当时，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作趋向无穷大，趋向，由样本估计总体可知：购买甲系列盲盒的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，则，所以，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400，所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个.估计利润为：（元）. 12分22.（本小题满分12分）已知函数fx=m1xex+lnx，mR(1)若m=0，证明
7、：fxx1(2)若m0,e1，证明：函数fx存在唯一的极值点若f=0，且，证明：32+【详解】（1）令x=lnxx+1，则x=1x1=1xx所以当0x0,x单调递增；当x1时，x0,x单调递减，所以x1=0，从而fx=lnxx1，当且仅当x=1时等号成立，证毕. 4分（2）函数fx=m1xex+lnx的定义域为0,+，则fx=1xmxex=1mx2exx，x0,+令gx=1mx2ex，m0,e1，则gx=mx2+2xex0，1me，ln1m1，gln1m=1ln1m20，即fx0，函数fx单调递增，当x,+时，gx0，即fx，1,ln1m，知1，又f=0，即f=m1e+ln=0，则ln1=me（*），（*）（*）得e=2ln1，由（1）知1时，ln1，所以2ln1211=2，所以e2，则lneln2，即2ln21，即2+ 12分
