1、圆的方程 一、选择题1圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是()A(x2)2y21B(x2)2y21C(x2)2(y3)21Dx2(y2)21A设圆的方程为(xa)2y21，由题意知(2a)2121，解得a2，故选A2若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是()A(，)B(，2)(2，)C(，)D(，2)(2，)B由题意知m24120，即m28，解得m2或m2，故选B3设P(x，y)是曲线x2(y4)24上任意一点，则的最大值为()A2BC5D6A的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距离易知点A(1，1)在圆x2(y4)24的外部，由数形结合(图略)可知的最
2、大值为22故选A4已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A(1，1)B(1，0)C(1，1)D(0，1)D由x2y2kx2yk20知所表示圆的半径r，要使圆的面积最大，须使半径最大，所以当k0时，rmax1，此时圆的方程为x2y22y0，即x2(y1)21，所以圆心为(0，1)5动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y24C(2x3)24y21Dy2C设中点M(x，y)，则动点A(2x3，2y)点A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21故选C6(
3、2021西安调研)已知圆C经过P(2，4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为()Ax2y22x4y80Bx2y22x4y80Cx2y22x4y80或x2y26x8y0Dx2y22x4y80或x2y26x8y0C设圆的方程为x2y2DxEyF0，D2E24F0，将P，Q两点的坐标代入得令y0得x2DxF0设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6得D24F36，解组成的方程组得或因此，所求的圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0，故选C二、填空题7若圆(x1)2(y3)29上相异两点P，Q关于直线kx2y40对称，则k的值为_2由题意知，直线kx2y40经过
4、圆心(1，3)，则有k640，即k28若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，因此圆的方程是_(x2)2(y3)213设直径的两端点分别为A(a，0)，B(0，b)，则a4，b6，|AB|2，从而圆的半径为，因此圆的方程为(x2)2(y3)2139圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是_1将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11三、解答题10已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4(1)求直线
5、CD的方程；(2)求圆P的方程解(1)由已知得直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1，2)所以直线CD的方程为y2(x1)，即xy30(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30又直径|CD|4，所以|PA|2所以(a1)2b240由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)，所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)24011如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程解(1)由已知可知A(3，0)，B(3，0)，C(，3)
6、，D(，3)，设圆心E(0，b)，由|EB|EC|可知(03)2(b0)2(0)2(b3)2，解得b1所以r2(03)2(10)210所以圆的方程为x2(y1)210(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x5，2y2)将M点代入圆的方程得(2x5)2(2y3)210，即1若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()A1B5C4D32D由题意知圆心C(2，1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，(ab)33232，当且仅当，即b2，a1时，等号成立的最小值为322已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，
7、且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)223动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1，x2是方程x22mx40的两根(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0，1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值解(1)x1，x2是方程x22mx40的两根，x1x22m，x1x24动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且线段AB
8、是动圆C的直径，动圆C的圆心C的坐标为(m，0)，半径为动圆C的方程为(xm)2y2m24(2)证明：设动圆C的方程为x2y2DxEyF0，动圆C与y轴交于M(0，1)，N(0，y1)，令y0，则x2DxF0，由题意可知D2m，F4，又动圆C过点M(0，1)，1E40，解得E3令x0，则y23y40，解得y1或y4，y14动圆C在y轴上截得弦长为|y11|5故动圆C在y轴上截得弦长为定值1(2021青岛模拟)如图A(2，0)，B(1，1)，C(1，1)，D(2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W给出以下4个结论：曲线
9、W与x轴围成的面积等于2；曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；所在圆的方程为：x2(y1)21；与的公切线方程为：xy1则上述结论正确的是()ABCDB曲线W与x轴的图形为以(0，1)圆心，1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为2222，故错误；曲线W上有(2，0)，(1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故正确；是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2(y1)21，故正确；设与的公切线方程为ykxt(k0，t0)，由直线和圆相切的条件可得1，解得k1，t1
10、(t1舍去)，则其公切线方程为yx1，即xy1，故正确故选B2在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0设A(x1，0)，B(x2，0)，可得m28m0，则m0或m8，x1x2m，x1x22m令x0，得y2m，即C(0，2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为y2(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0，2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0整理得x2y2ym(x2y2)0令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和