1、空间中的垂直关系一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012北京模拟)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 ()(A)若m，n，则mn(B)若mn，m，则n(C)若m，m，则(D)若m，m，则2.(2012青岛模拟)已知直线l、m，平面、，且l，m，则是lm的()(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()(A)BC平面PDF(B)DF平面PAE(C)平面PDF平面PAE(D)平面PDE平面ABC4.(易错题)a，b，c是
2、三条直线，是两个平面，b，c则下列命题不成立的是()(A)若，c，则c(B)“若b，则”的逆命题(C)若a是c在内的射影，ab，则bc(D)“若bc，则c”的逆否命题5.设、为平面，l、m、n为直线，则m的一个充分条件为()(A)，l，ml(B)n，n，m(C)m，(D)，m6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()(A)线段B1C (B)线段BC1(C)BB1中点与CC1中点连成的线段(D)BC中点与B1C1中点连成的线段二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2012桂林模拟)设l，m，n为三条不同的直线
3、，为一个平面，给出下列命题若l，则l与相交若m，n，lm，ln，则l若lm，mn，l，则n若lm，m，n，则ln其中正确命题的序号为.8. (2012威海模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是.9.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在的直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的
4、是.(写出所有正确结论的编号)三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，ADAA1a，AB2a.(1)求证：MN平面ADD1A1；(2)求三棱锥PDEN的体积.11.(2012济宁模拟)如图，已知直角梯形ABCD的上底BC，BCAD，BCAD，CDAD，平面PDC平面ABCD，PCD是边长为2的等边三角形.(1)证明：ABPB；(2)求三棱锥APBD的体积.【探究创新】(16分)已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)是
5、否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.因为A中的直线m、n也可能异面.2.【解析】选B.充分性：若，l，l，又m，lm，是充分条件；必要性：如图正方体ABCDA1B1C1D1，取ABCD为平面，ADD1A1为平面，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出，不是必要条件.3.【解析】选D.因BCDF，所以BC平面PDF，A成立；易证BC平面PAE，BCDF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c，a是
6、c在内的射影，ca，ba，bc；若c与相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若ba，则bc，故C正确；b，c，bc，c，因此原命题“若bc，则c”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当时，平面内的直线不一定垂直于平面，故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素.5.【解析】选B.如图知A错；如图知C错；如图在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故D错.由n，n知，又m，故m，因此B正确.6.【解题指南】联想正方体体对角线与面对角线的关系.【解析】选A.连接AC、CB1、A
7、B1.易证BD1平面AB1C.所以点P的轨迹是线段B1C.7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故正确；由于m、n不一定相交，故不正确；根据平行线的传递性，故ln，又l，故n，从而正确；由m，n知mn，故ln，故正确.答案：8.【解析】由于ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AA1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH平面CB1D1，故正确；因为B1CBC1，ABB1C，且ABBC1B，所以B1C平面ABC1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90.答案：9.【解析】由条件可得AB平面PA
8、D，所以ABPD，故正确；PA平面ABCD，平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EFCD，又ABCD，所以EFAB，故AE与BF共面，故错.答案：10.【解析】(1)取CD的中点K，连接MK，NK，M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，MKAD，NKDD1，MK平面ADD1A1，NK平面ADD1A1，MKNKK，平面MNK平面ADD1A1，MN平面ADD1A1.(2)SNEPBCCD1aa2，作DQCD1，交CD1于Q，由A1D1平面CDD1
9、C1得A1D1DQ.DQ平面BCD1A1，在RtCDD1中，DQa.VPDENVDENPSNEPDQa2aa3.11.【解析】(1)在直角梯形ABCD中，因为AD2，BC，CD2，所以AB.因为BCCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，所以BC平面PDC，因此在RtBCP中，PB.因为BCAD所以AD平面PDC，所以在RtPAD中，PA2.所以在PAB中，PA2AB2PB2，所以ABPB.(2)过P作PEDC，PCD为等边三角形，E为DC中点，易得PE平面ABCD，且PE，所以VAPBDVPABDSABDPE(ADDC)22.【探究创新】【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.【解析】(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2.VPABCDS正方形ABCDPC122，即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BDAE.证明如下：连接AC，ABCD是正方形，BDAC.PC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC.又ACPCC，BD平面PAC.不论点E在何位置，都有AE平面PAC.不论点E在何位置，都有BDAE.