1、2023-2024学年高一数学上学期期中测试卷01（测试范围：第1-3章）一、单选题1已知集合，且，则（）ABCD【答案】D【分析】先运用列举法求得集合M，由此可判断得选项【解析】由已知得集合，又，所以不成立，不成立，不成立，成立，故选：D2函数的定义域是（）ABCD【答案】C【分析】根据具体函数的定义域求解，列不等式求解集，即可得函数定义域.【解析】解：函数的定义域满足：解得，且，函数的定义域为.故选：C.3下列各组函数表示同一个函数的是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】根据函数的定义，定义域和对应法则都相同，则两个函数是同一函数，可判断各选项.【解析】A：，两个函数的定义域不同，所以不
2、是同一函数；B：，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；C：，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；D：，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：C.4已知正实数，满足，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】使用基本不等式，将“1”进行代换求解，求解时需注意基本不等式取等条件.【解析】由已知，当且仅当，即且时取等号，即当且仅当且时，的最小值为.故选：D.5若，都是实数，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【解析】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，满足
3、，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.6已知函数则等于（）ABC或D【答案】A【分析】运用代入法进行求解即可.【解析】，.故选：A7若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据对称轴与区间端点值之间的关系,列式可解得结果.【解析】因为函数在区间上是减函数,函数对称轴为所以,解得.故选：B8函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（）A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断【答案】B【分析】利用幂函数的定义以及结合成立等价于函数为减函数可求出的值，利用函数的单调性与奇函数求解即可.【解析】因为对任意，且，满足，所以在上为减函数，
4、由已知是幂函数，可得，解得或，当时，在上为增函数，故不成立.当时，在上为减函数，满足条件，故，故为奇函数，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B二、多选题9若，且，则（）ABCD【答案】BD【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD.【解析】，且，所以，即，故A错误，B正确；所以，即，故C错误，D正确.故选：BD.10图中阴影部分用集合符号可以表示为（）ABCD【答案】AD【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。【解析】对于A选项，即为图中所示；对于B选项，应为如下图：对于C选项，应为如下图：对于D选项，即为图中所示.故选：AD11如图所示是函数的图象，图中
5、正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A函数的定义域为B函数的值域为C此函数在定义域内是增函数D对于任意的，都有唯一的自变量与之对应【答案】BD【分析】利用函数的图象判断.【解析】由图象知：A.函数的定义域为，故错误；B.函数的值域为，故正确；C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；故选：BD12已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）其中“有界函数”是（）A（1）B（2）C（3）D（4）【答案】BC【分析】利用分离常数法，换
6、元法，二次函数的性质，分别求出四个函数的值域，即可得加绝对值的值域，结合有界函数的定义即可得正确选项.【解析】对于（1）：，由于，所以，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数；对于（2）令，则，因为，当时，函数的最大值为，所以，即，为有界函数；对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；对于（4）令， ，则，即，当时，无最小值，即，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数故选：BC.三、填空题13已知命题，则命题的否定为 【答案】【分析】根据命题的否定定义求解即可.【解析】命题的否定为：.故答案为：.14函数的定义域为，则实数的取值范围为 【答案】【分析
7、】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案【解析】函数的定义域为，等价于恒成立，当时，显然成立；当时，由，得综上，实数的取值范围为故答案为：15已知函数，若不等式的解为，则 .【答案】【分析】根据韦达定理即可得到答案.【解析】令，则由韦达定理得，解得，则，故答案为：.16已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是 【答案】【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.【解析】幂函数在上是减函数，解得，或当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，解得：.故答案为：.四
8、、解答题17设全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.【解析】（1）是的充分条件， ，又，即，解得.故实数的取值范围为.（2）命题“，则”是真命题，故.当时，解得；当时，且，解得；综上所述：实数的取值范围.18已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和
9、值域【答案】（1）递增区间是，图像见解析（2）【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【解析】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,.设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,故的解析式为,由图像可得值域为.【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.19已知函数(1)证明函数在上为
10、增函数；(2)若函数在定义域上为奇函数，求a的值【答案】(1)证明见解析(2)0【分析】（1）先设，利用作差法比较与的大小即可判断；（2）由奇函数定义可知，代入即可求解a【解析】（1）设，所以，则，所以，故在上为增函数；（2）若函数在定义域上为奇函数，则，所以，所以，即20某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（）方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个.方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.(1)试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.(2)若a，b，x，y满足，
11、求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）.【答案】(1)方案二，理由见解析(2)32【分析】（1）列出函数式子，作差比较即可；（2）利用换元法，结合基本不等式即可.【解析】（1）方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），则，因为，所以，即，所以采用方案二，花费更少.（2）由（1）可知，令，因为，所以，所以差值S的最小值为，当且仅当，即，时，等号成立.所以两种方案花费的差值S的最小值为32元.21已知函数是定义在上的奇函数，且(1)求函数的解析式；(2)证明：函数在区间上单调递增；(3)若，求实数的取值范围【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用奇函数的性质求
12、得，再由求得，由此可得的解析式；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.【解析】（1）由题意可知，即，又，即， ，.（2），且，有，即，所以函数在区间上单调递增.（3）因为为奇函数，所以由，得，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，故，所以实数的取值范围是22已知函数，(1)若，求，的最小值；(2)若恒成立，（i）求证：；（ii）若，且恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求函数最小值；（2）（i）由二次不等式恒成立，利用判别式建立关系，证明；（ii）由恒成立的不等式，分离出常数，利用函数思想求取值范围【解析】（1）若，则，当且仅当，即时，取等号，所以；（2）证明：因为恒成立，即恒成立，所以，即，所以，则，所以；解：，即恒成立，因为，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，令，则，则在上恒成立，又，所以，即实数的取值范围为.
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